Pregunta 1 · Operacions amb potències i arrels

Simplificació d'expressions amb radicals i potències de exponent fraccionari, i racionalització de denominadors.

Puntuació màxima · 4 punts

Calcula les operacions de potències i arrels. Dona el resultat el més simplificat possible.

$\dfrac{\sqrt{28} \cdot \sqrt[5]{98} \cdot 7^{-3/2}}{\sqrt[10]{56} \cdot \sqrt[5]{343}}$ 2 p
$\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt[4]{8}}$ 2 p

Bachillerato CCSS · Bloc A Radicals + potències

Correcció pas a pas

Idea clau: tot ho expressem com a potència de base prima. Aquí intervenen $2$, $3$ i $7$. Recorda: $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}$ i $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$.

a) $\dfrac{\sqrt{28} \cdot \sqrt[5]{98} \cdot 7^{-3/2}}{\sqrt[10]{56} \cdot \sqrt[5]{343}}$

Descomposem: $28 = 2^{2} \cdot 7$, $\;98 = 2 \cdot 7^{2}$, $\;56 = 2^{3} \cdot 7$, $\;343 = 7^{3}$.

Numerador. Cada arrel es converteix en potència fraccionària:

\sqrt{28} = 2 \cdot 7^{1/2}, \quad \sqrt[5]{98} = 2^{1/5} \cdot 7^{2/5}, \quad 7^{-3/2}.

Producte:

2^{1 + 1/5} \cdot 7^{1/2 + 2/5 - 3/2} = 2^{6/5} \cdot 7^{-3/5}.

Denominador.

\sqrt[10]{56} = 2^{3/10} \cdot 7^{1/10}, \quad \sqrt[5]{343} = 7^{3/5}.

Producte:

2^{3/10} \cdot 7^{1/10 + 3/5} = 2^{3/10} \cdot 7^{7/10}.

Quocient — restem els exponents:

\dfrac{2^{6/5} \cdot 7^{-3/5}}{2^{3/10} \cdot 7^{7/10}} = 2^{12/10 - 3/10} \cdot 7^{-6/10 - 7/10} = 2^{9/10} \cdot 7^{-13/10}.

Per posar-ho en forma "racionalitzada" multipliquem dalt i baix per $7^{7/10}$ i fem aparèixer $7^{2}$ al denominador:

2^{9/10} \cdot 7^{-13/10} = \dfrac{2^{9/10} \cdot 7^{7/10}}{7^{2}} = \dfrac{\sqrt[10]{2^{9} \cdot 7^{7}}}{49}.

$= \dfrac{\sqrt[10]{2^{9} \cdot 7^{7}}}{49} \approx 0{,}148$.

b) $\dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt[4]{8}}$

$\sqrt{6} = 6^{1/2} = 2^{1/2} \cdot 3^{1/2}$ i $\sqrt[4]{8} = (2^{3})^{1/4} = 2^{3/4}$.

\dfrac{2^{1/2} \cdot 3^{1/2}}{2^{3/4}} = 2^{1/2 - 3/4} \cdot 3^{1/2} = 2^{-1/4} \cdot 3^{1/2} = \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt[4]{2}}.

Racionalitzem multiplicant per $\sqrt[4]{2^{3}}/\sqrt[4]{2^{3}} = \sqrt[4]{8}/\sqrt[4]{8}$:

\dfrac{\sqrt{3} \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{2} \cdot \sqrt[4]{8}} = \dfrac{\sqrt[4]{9} \cdot \sqrt[4]{8}}{\sqrt[4]{16}} = \dfrac{\sqrt[4]{9 \cdot 8}}{2} = \dfrac{\sqrt[4]{72}}{2}.

$= \dfrac{\sqrt[4]{72}}{2} \approx 1{,}457$.