Pregunta 3 · Equació amb logaritmes
Equació amb el mateix logaritme als dos costats: cancel·lació i resolució exponencial.
Puntuació màxima · 2 punts- Resol $\log(x-1) - 3\log(x) + 5 = \log(x-1) + \log 2$. 2 p
Bachillerato CCSS · Bloc D
Equació logarítmica
Correcció pas a pas
Idea clau: apareix $\log(x-1)$ als dos costats, així que el podem cancel·lar de seguida i ens queda una equació logarítmica simple. Després aïllem $\log(x)$ i fem $10^{(\dots)}$.
· Cancel·lació i aïllar $\log(x)$
Restem $\log(x-1)$ als dos costats:
$$-3\log(x) + 5 = \log(2) \;\Longleftrightarrow\; -3\log(x) = \log(2) - 5.$$
Aïllem $\log(x)$:
$$\log(x) = \dfrac{5 - \log(2)}{3}.$$
· Forma compacta de la solució
Aprofitant que $5 = \log(10^{5})$:
$$\log(x) = \dfrac{\log(10^{5}) - \log(2)}{3} = \dfrac{1}{3}\log\!\left(\dfrac{10^{5}}{2}\right) = \log\!\left(\sqrt[3]{50\,000}\right).$$
Per tant:
$$x = \sqrt[3]{50\,000} = 10\sqrt[3]{50} \approx 36{,}84.$$
(Hem aprofitat $50\,000 = 10^{3} \cdot 50$.)
· Domini i verificació
Cal $x > 0$ (per $\log x$) i $x - 1 > 0$ (per $\log(x-1)$), és a dir, $x > 1$. Com que $x \approx 36{,}84 > 1$, és vàlida.
Verificació numèrica: $\log(35{,}84) - 3\log(36{,}84) + 5 \approx 1{,}554 - 4{,}699 + 5 \approx 1{,}855$, mentre que $\log(35{,}84) + \log(2) \approx 1{,}554 + 0{,}301 \approx 1{,}855$ ✓.
$x = 10\sqrt[3]{50} = \sqrt[3]{50\,000} \approx 36{,}84$.