Pregunta 2 · Diagrama de Venn — hàbits de lectura

Representació amb diagrama de Venn, probabilitat d'unió, complementari i probabilitat condicionada.

Puntuació màxima · 2 punts

En una enquesta feta a 120 clients d'una llibreria sobre els seus hàbits de lectura, s'han obtingut les dades següents: 75 persones llegeixen novel·la, 50 persones llegeixen assaig i 25 persones llegeixen tots dos gèneres.

Representa la situació amb un diagrama de Venn indicant el nombre de persones a cada regió. 0,5 p
Calcula la probabilitat que un client triat a l'atzar llegeixi novel·la o assaig. 0,5 p
Calcula la probabilitat que un client triat a l'atzar no llegeixi cap dels dos gèneres. 0,5 p
Si sabem que un client llegeix novel·la, quina és la probabilitat que també llegeixi assaig? 0,5 p

Bachillerato CCSS · Bloc E Diagrama de Venn Probabilitat

Correcció pas a pas

Idea clau: omple primer la intersecció i calcula les regions exclusives per diferència. La fórmula d'inclusió-exclusió és $P(N \cup A) = P(N) + P(A) - P(N \cap A)$.

a) Diagrama de Venn

Definim $N$ = "llegeix novel·la", $A$ = "llegeix assaig". Dades: $|N|=75$, $|A|=50$, $|N\cap A|=25$, total $=120$.

Calculem cada regió per diferència:

|N \setminus A| = 75 - 25 = 50

(persones que llegeixen només novel·la)

|A \setminus N| = 50 - 25 = 25

(persones que llegeixen només assaig)

|\overline{N \cup A}| = 120 - 50 - 25 - 25 = 20

(persones que no llegeixen cap dels dos gèneres)

Verificació: $50 + 25 + 25 + 20 = 120$ ✓

Zona N sola = 50; intersecció $N\cap A$ = 25; zona A sola = 25; fora dels cercles = 20.

b) $P(N \cup A)$

Apliquem la fórmula d'inclusió-exclusió (o directament del diagrama: $50+25+25=100$ clients):

P(N \cup A) = \frac{75 + 50 - 25}{120} = \frac{100}{120} = \frac{5}{6} \approx 0{,}833

$P(N \cup A) = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}833$. El 83,3% dels clients llegeix almenys un gènere.

c) $P(\text{cap gènere})$

Usem el complementari (o directament: $\frac{20}{120}$):

P\bigl(\overline{N \cup A}\bigr) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6} \approx 0{,}167

$P(\text{cap gènere}) = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167$. El 16,7% dels clients no llegeix cap gènere.

d) $P(A \mid N)$

Reduïm l'univers als 75 lectors de novel·la. D'ells, 25 també llegeixen assaig:

P(A|N) = \frac{P(A \cap N)}{P(N)} = \frac{25/120}{75/120} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3} \approx 0{,}333

$P(\text{assaig}\mid\text{novel·la}) = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333$. 1 de cada 3 lectors de novel·la també llegeix assaig.