Pregunta 1 · Probabilitat condicionada i teorema de Bayes
Diagrama d'arbre, probabilitat total i teorema de Bayes aplicats a l'assistència i els resultats a classe.
Puntuació màxima · 2 puntsA la classe de Matemàtiques Aplicades a les CCSS de 1r de Batxillerat s'ha observat que el 30% dels alumnes falten sovint a classe, mentre que la resta hi assisteixen regularment. Entre els alumnes que assisteixen regularment, el 50% treuen una bona nota, el 35% treuen una nota normal i la resta suspenen. En canvi, entre els alumnes que falten sovint, només el 15% treuen bona nota, el 30% treuen una nota normal i la resta suspenen.
- Representa la situació mitjançant un diagrama d'arbre amb totes les probabilitats. 0,75 p
- Si triem un alumne a l'atzar, quina és la probabilitat que suspengui l'assignatura? 0,5 p
- Sabem que un alumne ha tret bona nota a l'assignatura. Quina és la probabilitat que sigui dels que falten sovint a classe? 0,75 p
Correcció pas a pas
Idea clau: en un diagrama d'arbre, les probabilitats de les branques que surten d'un mateix node han de sumar 1. La probabilitat total s'obté multiplicant les probabilitats al llarg de cada camí. El teorema de Bayes permet "invertir" la condició: donat el resultat, calcular la probabilitat de la causa.
a) Diagrama d'arbre
Definim: $A$ = "assisteix regularment" ($P(A)=0{,}70$), $F$ = "falta sovint" ($P(F)=0{,}30$). Resultats: bona nota ($B$), nota normal ($N$), suspès ($S$).
b) Probabilitat de suspendre
Apliquem la regla de la probabilitat total. "Suspendre" es pot donar per dos camins: $A \cap S$ o $F \cap S$.
c) Teorema de Bayes: $P(F \mid B)$
Primer, probabilitat total de treure bona nota:
Ara apliquem el teorema de Bayes: