Pregunta 2 · Funció inversa
Inversió algebraica d'una racional, una arrel, una exponencial i una afí.
Puntuació màxima · 1 puntDonades les funcions $f(x) = \dfrac{-x+1}{2x+6}$, $g(x) = \sqrt{\dfrac{3}{2x-4}}$, $h(x) = 4^{x} - 3$ i $t(x) = 2x+1$.
- Calcula la inversa de $f(x)$. 0,25 p
- Calcula la inversa de $g(x)$. 0,25 p
- Calcula la inversa de $h(x)$. 0,25 p
- Calcula la inversa de $t(x)$. 0,25 p
Bachillerato CCSS · Bloc D
Inversa
Correcció pas a pas
Idea clau: per trobar $f^{-1}$ escrivim $y = f(x)$, intercanviem els papers ($x \leftrightarrow y$) i aïllem la nova $y$ en funció de $x$.
a) $f(x) = \dfrac{-x+1}{2x+6}$
$x = \dfrac{-y+1}{2y+6} \Rightarrow x(2y+6) = -y+1 \Rightarrow 2xy + 6x = -y + 1$. Aïllem $y$:
$$2xy + y = 1 - 6x \;\Longleftrightarrow\; y(2x+1) = 1-6x \;\Longleftrightarrow\; y = \dfrac{1-6x}{2x+1}.$$
$f^{-1}(x) = \dfrac{1-6x}{2x+1}$ (definida si $x \neq -\tfrac{1}{2}$).
b) $g(x) = \sqrt{\dfrac{3}{2x-4}}$
$y = \sqrt{\dfrac{3}{2x-4}}$ amb $y > 0$. Elevem al quadrat: $y^{2} = \dfrac{3}{2x-4}$, d'on $2x-4 = \dfrac{3}{y^{2}}$ i
$$x = 2 + \dfrac{3}{2y^{2}}.$$
Intercanviant variables:
$g^{-1}(x) = 2 + \dfrac{3}{2x^{2}}$ (definida per a $x > 0$).
c) $h(x) = 4^{x} - 3$
$y = 4^{x} - 3 \Rightarrow y + 3 = 4^{x} \Rightarrow x = \log_{4}(y+3)$.
$h^{-1}(x) = \log_{4}(x+3)$ (definida per a $x > -3$).
d) $t(x) = 2x+1$
$y = 2x+1 \Rightarrow x = \dfrac{y-1}{2}$.
$t^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{2}$.