Pregunta 3 · Conjunt imatge
Determinació del recorregut analitzant el comportament asimptòtic i monòton de cada funció.
Puntuació màxima · 1 puntDonades les funcions $f(x) = \dfrac{-x+1}{2x+6}$, $g(x) = \sqrt{\dfrac{3}{2x-4}}$, $h(x) = 4^{x} - 3$ i $t(x) = 2x+1$.
- Dona el conjunt imatge de $f(x)$. 0,25 p
- Dona el conjunt imatge de $g(x)$. 0,25 p
- Dona el conjunt imatge de $h(x)$. 0,25 p
- Dona el conjunt imatge de $t(x)$. 0,25 p
Correcció pas a pas
Idea clau: la imatge és el conjunt de valors $y$ que pren la funció. Per a una racional, fixa't en l'asímptota horitzontal (valor que no pot prendre). Per a una arrel quadrada amb fracció positiva, valors $> 0$. Per a una exponencial $a^{x} - k$, valors $> -k$. Per a una afí no constant, tot $\mathbb{R}$.
a) $f(x) = \dfrac{-x+1}{2x+6}$
El quocient dels coeficients principals dona l'asímptota horitzontal: $y = \dfrac{-1}{2}$. La funció pren tots els valors reals excepte aquest.
b) $g(x) = \sqrt{\dfrac{3}{2x-4}}$
Al domini $x > 2$, $\dfrac{3}{2x-4} > 0$ i quan $x \to 2^{+}$ el quocient tendeix a $+\infty$, mentre que quan $x \to +\infty$ tendeix a $0^{+}$. L'arrel preserva la positivitat.
c) $h(x) = 4^{x} - 3$
$4^{x} > 0$ per a tot $x$, així que $h(x) > -3$. Quan $x \to +\infty$, $h \to +\infty$.
d) $t(x) = 2x+1$
Recta no constant: pren tots els valors reals.