Pregunta 3 · Logaritmes — definició i propietats
Aplicació directa de la definició $\log_{a}(b) = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ i propietats bàsiques.
Puntuació màxima · 2 puntsTroba el valor de $x$ aplicant la definició i/o propietats dels logaritmes.
- $\log_{x}\!\left(\dfrac{1}{9}\right) = -4$ 0,5 p
- $\log_{2} x = 3$ 0,5 p
- $3\log_{2} x - \log_{2} x = 4$ 0,5 p
- Calcula $\log_{x}\!\sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$ 0,5 p
Bachillerato CCSS · Bloc A
Logaritmes
Correcció pas a pas
a) $\log_{x}\!\left(\dfrac{1}{9}\right) = -4$
Per definició, $x^{-4} = \dfrac{1}{9} \Rightarrow x^{4} = 9 \Rightarrow x = 9^{1/4} = \sqrt{3}$ (la base ha de ser positiva).
$x = \sqrt{3}$.
b) $\log_{2} x = 3$
Per definició, $x = 2^{3} = 8$.
$x = 8$.
c) $3\log_{2} x - \log_{2} x = 4$
$3\log_{2} x - \log_{2} x = 2\log_{2} x = 4 \Rightarrow \log_{2} x = 2 \Rightarrow x = 4$.
$x = 4$.
d) $\log_{x}\!\sqrt[4]{x \cdot \sqrt[3]{x^{2}}}$
Posem-ho tot com a potència de $x$:
$$x \cdot \sqrt[3]{x^{2}} = x \cdot x^{2/3} = x^{1 + 2/3} = x^{5/3}.$$
Llavors $\sqrt[4]{x^{5/3}} = x^{5/12}$ i, per definició,
$$\log_{x}\!\bigl(x^{5/12}\bigr) = \dfrac{5}{12}.$$
$= \dfrac{5}{12}$.