Pregunta 2 · Factorització, MCD i MCM de polinomis
Treure factor comú, identificar productes notables i raonar l'MCD/MCM dels polinomis factoritzats.
Puntuació màxima · 2 puntsDonats els polinomis $p(x) = 2x^{3} - 8x$ i $q(x) = 3x^{4} - 15x^{3} + 18x^{2}$.
- Factoritza $p(x)$ i $q(x)$. 1 p
- Troba el $\mathrm{MCD}(p, q)$ i el $\mathrm{MCM}(p, q)$. 1 p
Correcció pas a pas
Idea clau: traiem primer el factor comú (constants i $x$), després apliquem productes notables (diferència de quadrats) o trobem arrels enteres senzilles per acabar de factoritzar. L'MCD és el producte dels factors comuns amb la mínima multiplicitat, l'MCM amb la màxima (incloses les constants amb $\gcd$ i $\mathrm{lcm}$).
a) Factorització
$p(x) = 2x^{3} - 8x = 2x(x^{2} - 4) = 2x(x-2)(x+2)$ (diferència de quadrats).
$q(x) = 3x^{4} - 15x^{3} + 18x^{2} = 3x^{2}(x^{2} - 5x + 6) = 3x^{2}(x-2)(x-3)$.
b) MCD i MCM
Factors comuns amb mínima multiplicitat: $x$ (mín. mult. $1$) i $(x-2)$. Coeficient: $\gcd(2, 3) = 1$.
Factors amb màxima multiplicitat per a l'MCM: $x^{2}$ (de $q$), $(x-2)$, $(x+2)$ (de $p$), $(x-3)$ (de $q$). Coeficient: $\mathrm{lcm}(2, 3) = 6$.