¿Qué es una ecuación bicuadrada?
Definición
Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede transformar en una ecuación de segundo grado mediante un cambio de variable.
El caso típico es una ecuación de grado par donde solo aparecen el término principal, un término de grado intermedio y el término independiente — y los exponentes son tales que uno es el doble del otro. Por ejemplo, el grado más alto es $2n$ y el del medio es $n$:
Con el cambio $\;x^{n} = z\;$ nos queda:
una ecuación de 2.º grado en $z$, que ya sabemos resolver.
Estrategia general
- Identifica el cambio: si la ecuación tiene términos $x^{2n}, x^{n}$ y constante, pon $\;z = x^{n}$.
- Reescribe la ecuación en $z$: te queda una ecuación de 2.º grado.
- Resuelve la de 2.º grado con la fórmula (o factorizando): obtienes uno o dos valores $z$.
- Para cada valor de $z$, deshaz el cambio ($x^{n} = z$) y halla las raíces en $x$.
- Reúne todas las soluciones.
Cuidado con las soluciones de más (y las que se pierden)
Si sale $\,z<0\,$ y $n$ es par (por ejemplo $x^{2}=z$), ese valor no da ninguna raíz real, porque ningún cuadrado real es negativo.
En cambio, si $n$ es impar ($x^{3}=z$), cualquier valor de $z$ da una sola raíz real, también si es negativo: $x = \sqrt[3]{z}$.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1 — solo el cambio
Consideramos $\;5x^{4} - 3x^{2} + 8 = 0$. Hacemos el cambio $\;x^{2} = z$:
El discriminante vale $\Delta = 9 - 4\cdot 5\cdot 8 = -151 < 0$, así que la de 2.º grado no tiene soluciones reales. Por tanto, la ecuación original tampoco tiene.
Ejemplo 2 — $2x^{4} - 26x^{2} + 72 = 0$
Aplicamos el cambio $\;x^{2}=z$:
Resolvemos con la fórmula de 2.º grado:
Así, $z_{1} = \dfrac{36}{4} = 9$ y $z_{2} = \dfrac{16}{4} = 4$. Ahora deshacemos el cambio:
- Si $z = 9$: $x^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.
- Si $z = 4$: $x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
Una ecuación bicuadrada con cambio $x^{2}=z$ puede tener hasta cuatro soluciones reales (dos por cada $z>0$).
Ejemplo 3 — cambio cúbico $x^{6} - 9x^{3} + 8 = 0$
Aquí los exponentes son $6$ y $3$, así que el cambio es $\;x^{3} = z$:
Así, $z_{1} = 8$ y $z_{2} = 1$. Deshacemos el cambio (ahora con raíz cúbica):
- Si $z = 8$: $x^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[3]{8} = 2$.
- Si $z = 1$: $x^{3} = 1 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[3]{1} = 1$.
Con cambio impar ($x^{3}=z$) cada $z$ da una sola raíz real, así que en este caso tenemos como máximo dos soluciones.
Ejercicios
Resuelve las ecuaciones bicuadradas propuestas. Después, comprueba con GeoGebra los resultados que has obtenido.
a) $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$
Cambio $\;x^{2} = t$:
$t_{1} = 4$ y $t_{2} = 1$. Deshacemos el cambio:
- Si $x^{2} = 1$: $x = \pm 1$.
- Si $x^{2} = 4$: $x = \pm 2$.
b) $x^{4} - 2x^{2} + 1 = 0$
Cambio $\;x^{2} = t$:
Deshacemos el cambio: si $x^{2} = 1$, entonces $x = \pm 1$. Como $t=1$ era raíz doble, cada una de estas es doble:
Se ve mejor factorizando: $\;x^{4} - 2x^{2} + 1 = (x^{2}-1)^{2} = (x-1)^{2}(x+1)^{2}$.
c) $x^{4} - 3x^{2} = 0$
Aquí no hace falta cambio de variable: sacamos factor común $x^{2}$ y tenemos un producto que se hace cero cuando lo hace alguno de los factores:
- $x^{2} = 0$: $x = 0\ \text{(doble)}$.
- $x^{2} - 3 = 0$: $x = \pm\sqrt{3}$.
Factorizado: $\;x^{4} - 3x^{2} = x^{2}\,(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.
d) $x^{6} - 7x^{3} - 8 = 0$
Los exponentes son $6$ y $3$, así que el cambio es $\;x^{3} = t$:
$t_{1} = 8$ y $t_{2} = -1$. Deshacemos el cambio (raíz cúbica):
- Si $x^{3} = 8$: $x = \sqrt[3]{8} = 2$.
- Si $x^{3} = -1$: $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.
La raíz cúbica de un número negativo existe en los reales, así que el caso $t=-1$ no se descarta — eso solo pasa con el cambio $x^{2}=z$.