2. Ecuaciones racionales · Ecuaciones y sistemas

¿Qué es una ecuación racional?

Definición

Una ecuación racional es una ecuación en la que la incógnita aparece en el denominador de una o más fracciones algebraicas.

Por ejemplo:

\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{x+2}{x^{2}-5x}.

La idea para resolverlas es la misma que con las fracciones numéricas: quitar los denominadores para quedarnos con una ecuación polinómica que ya sabemos resolver.

Estrategia (5 pasos)

Factorizar todos los denominadores.
Calcular el MCM de los denominadores.
Amplificar cada fracción para que todas tengan el MCM como denominador.
Eliminar los denominadores (queda una igualdad de polinomios).
Resolver la ecuación polinómica resultante.

Verificación final imprescindible

Al multiplicar por un denominador que contiene la incógnita, podemos introducir soluciones falsas (llamadas extrañas) que hacen cero algún denominador original y, por tanto, no son válidas.

Por eso, una vez halladas las soluciones, siempre hay que comprobar que ninguna de ellas anula ningún denominador. Si alguna lo hace, se descarta.

Ejercicios

1 Ecuación con tres fracciones

Resuelve $\;\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{x+2}{x^{2}-5x}$.

Paso 1 — Factorizar los denominadores

Los dos primeros ya lo están. El tercero se factoriza:

x^{2}-5x = x\,(x-5).

Reescribimos la ecuación:

\dfrac{x-1}{x} - \dfrac{x+1}{x-5} = \dfrac{x+2}{x(x-5)}.

Paso 2 — MCM de los denominadores

Los denominadores son $x$, $(x-5)$ y $x(x-5)$. El MCM es $\;x(x-5)$.

Paso 3 — Amplificar cada fracción

\dfrac{(x-1)(x-5)}{x(x-5)} - \dfrac{(x+1)\cdot x}{x(x-5)} = \dfrac{x+2}{x(x-5)}.

Paso 4 — Eliminar los denominadores

Como las tres fracciones tienen el mismo denominador, igualamos los numeradores:

(x-1)(x-5) - (x+1)\cdot x = x+2.

Paso 5 — Resolver la ecuación

Desarrollamos los productos:

x^{2}-5x-x+5 \;-\; x^{2}-x \;=\; x+2.

Los $x^{2}$ se cancelan:

$$-7x + 5 = x + 2.$$

5 - 2 = x + 7x \;\Longrightarrow\; 3 = 8x \;\Longrightarrow\; \boxed{\,x = \tfrac{3}{8}.\,}

Verificación

Comprobamos que $x = \tfrac{3}{8}$ no anula ningún denominador:

$x = \tfrac{3}{8} \neq 0$ ✓
$x - 5 = \tfrac{3}{8} - 5 = -\tfrac{37}{8} \neq 0$ ✓
$x(x-5) \neq 0$ ✓ (porque ninguno de los dos factores lo es)

La solución es válida.

2 Ecuación con un término sin denominador

Resuelve $\;\dfrac{3}{x+2} - \dfrac{x}{x-2} = 2$.

Paso 1 — Factorizar los denominadores

Todos los denominadores son ya factores irreducibles: $\;(x+2)$, $\;(x-2)$ y el $1$ del lado derecho (que trataremos como $\dfrac{2}{1}$).

Paso 2 — MCM de los denominadores

$\operatorname{MCM}\bigl(x+2,\; x-2,\; 1\bigr) = (x+2)(x-2)$.

Paso 3 — Amplificar cada fracción

\dfrac{3(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \dfrac{x(x+2)}{(x+2)(x-2)} = \dfrac{2(x+2)(x-2)}{(x+2)(x-2)}.

Paso 4 — Eliminar los denominadores

$$3(x-2) - x(x+2) = 2(x+2)(x-2).$$

Paso 5 — Resolver la ecuación

Desarrollamos los tres productos:

3x-6 \;-\; x^{2}-2x \;=\; 2\,(x^{2}-4) = 2x^{2}-8.

Agrupamos todo en un lado:

3x-6-x^{2}-2x-2x^{2}+8 = 0 \;\Longrightarrow\; -3x^{2}+x+2 = 0.

Multiplicamos por $-1$ para tener el coeficiente principal positivo y aplicamos la fórmula:

3x^{2}-x-2 = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1-4\cdot 3\cdot(-2)}}{6} = \dfrac{1 \pm \sqrt{25}}{6} = \dfrac{1 \pm 5}{6}.

Así:

x_{1} = \dfrac{6}{6} = 1, \qquad x_{2} = \dfrac{-4}{6} = -\tfrac{2}{3}.

Verificación

Ninguno de los dos valores anula $\,x+2\,$ ni $\,x-2$:

$x=1$: $\;1+2 = 3$, $\;1-2 = -1$. ✓
$x=-\tfrac{2}{3}$: $\;-\tfrac{2}{3}+2 = \tfrac{4}{3}$, $\;-\tfrac{2}{3}-2 = -\tfrac{8}{3}$. ✓

\boxed{\;x = 1 \quad\text{o}\quad x = -\tfrac{2}{3}.\;}