Què és una equació biquadrada?
Definició
Una equació biquadrada és una equació que es pot transformar en una equació de segon grau mitjançant un canvi de variable.
El cas típic és una equació de grau parell on només apareixen el terme principal, un terme de grau intermedi i el terme independent — i els exponents són tals que un és el doble de l'altre. Per exemple, el grau més alt és $2n$ i el del mig és $n$:
Amb el canvi $\;x^{n} = z\;$ ens queda:
una equació de 2n grau en $z$, que ja sabem resoldre.
Estratègia general
- Identifica el canvi: si l'equació té termes $x^{2n}, x^{n}$ i constant, posa $\;z = x^{n}$.
- Reescriu l'equació en $z$: et queda una equació de 2n grau.
- Resol la 2n grau per la fórmula (o factoritzant): obtens un o dos valors $z$.
- Per a cada valor de $z$, desfés el canvi ($x^{n} = z$) i troba les arrels en $x$.
- Recull totes les solucions.
Compte amb les solucions extra (i les que es perden)
Si surt $\,z<0\,$ i $n$ és parell (per exemple $x^{2}=z$), aquell valor no dóna cap arrel real, perquè cap quadrat real és negatiu.
En canvi, si $n$ és imparell ($x^{3}=z$), qualsevol valor de $z$ dóna una sola arrel real, també si és negatiu: $x = \sqrt[3]{z}$.
Exemples treballats
Exemple 1 — només el canvi
Considerem $\;5x^{4} - 3x^{2} + 8 = 0$. Fem el canvi $\;x^{2} = z$:
El discriminant val $\Delta = 9 - 4\cdot 5\cdot 8 = -151 < 0$, així que la 2n grau no té solucions reals. Per tant, l'equació original tampoc en té.
Exemple 2 — $2x^{4} - 26x^{2} + 72 = 0$
Apliquem el canvi $\;x^{2}=z$:
Resolem per la fórmula del 2n grau:
Així, $z_{1} = \dfrac{36}{4} = 9$ i $z_{2} = \dfrac{16}{4} = 4$. Ara desfem el canvi:
- Si $z = 9$: $x^{2} = 9 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.
- Si $z = 4$: $x^{2} = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm\sqrt{4} = \pm 2$.
Una equació biquadrada amb canvi $x^{2}=z$ pot tenir fins a quatre solucions reals (dues per cada $z>0$).
Exemple 3 — canvi cúbic $x^{6} - 9x^{3} + 8 = 0$
Aquí els exponents són $6$ i $3$, així que el canvi és $\;x^{3} = z$:
Així, $z_{1} = 8$ i $z_{2} = 1$. Desfem el canvi (ara amb arrel cúbica):
- Si $z = 8$: $x^{3} = 8 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[3]{8} = 2$.
- Si $z = 1$: $x^{3} = 1 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt[3]{1} = 1$.
Amb canvi imparell ($x^{3}=z$) cada $z$ dóna una sola arrel real, així que en aquest cas tenim com a màxim dues solucions.
Exercicis
Resol les equacions biquadrades proposades. Després, comprova amb GeoGebra els resultats que has obtingut.
a) $x^{4} - 5x^{2} + 4 = 0$
Canvi $\;x^{2} = t$:
$t_{1} = 4$ i $t_{2} = 1$. Desfem el canvi:
- Si $x^{2} = 1$: $x = \pm 1$.
- Si $x^{2} = 4$: $x = \pm 2$.
b) $x^{4} - 2x^{2} + 1 = 0$
Canvi $\;x^{2} = t$:
Desfem el canvi: si $x^{2} = 1$, llavors $x = \pm 1$. Com que $t=1$ era arrel doble, cadascuna d'aquestes és doble:
Es veu millor factoritzant: $\;x^{4} - 2x^{2} + 1 = (x^{2}-1)^{2} = (x-1)^{2}(x+1)^{2}$.
c) $x^{4} - 3x^{2} = 0$
Aquí no fa falta canvi de variable: traiem factor comú $x^{2}$ i tenim un producte que es fa zero quan ho fa algun dels factors:
- $x^{2} = 0$: $x = 0\ \text{(doble)}$.
- $x^{2} - 3 = 0$: $x = \pm\sqrt{3}$.
Factoritzat: $\;x^{4} - 3x^{2} = x^{2}\,(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$.
d) $x^{6} - 7x^{3} - 8 = 0$
Els exponents són $6$ i $3$, així que el canvi és $\;x^{3} = t$:
$t_{1} = 8$ i $t_{2} = -1$. Desfem el canvi (arrel cúbica):
- Si $x^{3} = 8$: $x = \sqrt[3]{8} = 2$.
- Si $x^{3} = -1$: $x = \sqrt[3]{-1} = -1$.
L'arrel cúbica d'un nombre negatiu existeix en els reals, així que el cas $t=-1$ no es descarta — només passa això amb el canvi $x^{2}=z$.