Propietats de la suma i el producte
Si $x,\, y \in \mathbb{Q}$ i $z,\, t \in \mathbb{I}$:
| Suma | Producte | |
|---|---|---|
| $x,\, y \in \mathbb{Q}$ | $x + y \in \mathbb{Q}$ | $x \cdot y \in \mathbb{Q}$ |
| $x \in \mathbb{Q}$, $z \in \mathbb{I}$ | $x + z \in \mathbb{I}$ | $x \cdot z \in \mathbb{I}$ (si $x \neq 0$) |
| $z,\, t \in \mathbb{I}$ | Depèn | Depèn |
Per què «depèn»?
$\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$, que és racional; en canvi $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{6}$, que és irracional.
$\sqrt{2} + \left(-\sqrt{2}\right) = 0$, que és racional; en canvi $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ és irracional.
El problema de les formigues enamorades
Enunciat
Sobre el mateix vèrtex d'un quadrat de 2 m de costat hi ha dues formigues enamorades. Totes dues van a la mateixa velocitat: una recorre el quadrat pels seus costats i l'altra el recorre per la diagonal. Es trobaran exactament en algun punt del quadrat?
Veure la solució
La diagonal del quadrat
$d^2 = 2^2 + 2^2 = 8$, i per tant $d = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83$ m.
Les dues distàncies
Formiga que va pels costats: $4x \in \mathbb{Q}$
Formiga que va per la diagonal: $\sqrt{8} \cdot y \in \mathbb{I}$
La formiga que va pels costats sempre porta recorregut un nombre racional de metres: cada costat en fa $2$. La de la diagonal sempre porta un múltiple de $\sqrt{8}$, que és irracional. Perquè es trobessin, les dues distàncies haurien de ser iguals — i un racional mai no és igual a un irracional.
Conclusió
Matemàticament, les dues formigues no es poden tornar a trobar.