Nombres racionals
Definició
Són tots els nombres que es poden expressar en forma de fracció:
$$\mathbb{Q} = \left\{\, \dfrac{a}{b} \;\mid\; a,\, b \in \mathbb{Z},\; b \neq 0 \,\right\}$$
Exemple
$$\dfrac{1}{3}, \qquad \dfrac{1}{2}, \qquad 5{,}\overline{3} = \dfrac{48}{9}, \qquad 1{,}0\overline{52} = \dfrac{521}{495}, \qquad 1{,}3 = \dfrac{13}{10}$$
La ratlleta de sobre les xifres vol dir que aquelles xifres es repeteixen indefinidament. Tot decimal exacte o periòdic es pot escriure com a fracció, i per això és racional.
Nombres irracionals
Definició
$\mathbb{I}$ és el conjunt de nombres que no es poden posar en forma de fracció.
Exemple
$$\pi, \qquad e, \qquad \sqrt{2}, \qquad 1{,}23456789101112\ldots, \qquad 1{,}010010001\ldots$$
El decimal d'un nombre irracional és infinit i no periòdic: les xifres no arriben mai a repetir-se en un bloc. Els dos últims exemples estan fabricats expressament perquè això es vegi.
Dos irracionals que tenen nom
$\pi \approx 3{,}14159\ldots$ és la raó entre la longitud d'una circumferència i el seu diàmetre.
$e \approx 2{,}71828\ldots$ és la base dels logaritmes naturals.
Els nombres reals
Els nombres reals ($\mathbb{R}$) són el conjunt dels racionals i els irracionals.
- $\mathbb{N}$, els naturals: $0,\, 1,\, 2,\, 3,\ \ldots$
- $\mathbb{Z}$, els enters: $\ldots,\, -2,\, -1,\, 0,\, 1,\, 2,\ \ldots$
- $\mathbb{Q}$, els racionals: els que es poden escriure com a fracció.
- $\mathbb{I}$, els irracionals: els que no.
- $\mathbb{R}$, els reals: els racionals i els irracionals junts.