Problema 6 · Dos áreas en los lados de un rectángulo
Simetría central: $Q$ es el simétrico de $P$ y las áreas salen con base y altura.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn un rectángulo $ABCD$, las dos diagonales se cortan en el punto $E$. Dibujamos una recta que pasa por $E$ y corta los lados $AB$ en $P$ y $CD$ en $Q$, de manera que $PB = 7 \cdot AP$. Si el área del rectángulo $ABCD$ es de 256 cm², ¿cuál es la diferencia de las áreas de los triángulos $PBE$ y $CQE$?
Solución razonada
Idea clave: $E$ es el centro del rectángulo. Cualquier recta por $E$ corta lados opuestos en puntos simétricos respecto de $E$, y ambos triángulos tienen altura $h/2$ desde $E$.
Ponemos $AB = w$ y $BC = h$ (área $wh = 256$). Como $PB = 7\,AP$, tenemos $AP = \dfrac{w}{8}$ y $PB = \dfrac{7w}{8}$.
$Q$ es el simétrico de $P$ respecto del centro, así que $CQ = AP = \dfrac{w}{8}$.
Ambos triángulos tienen el tercer vértice en $E$, a distancia $\dfrac{h}{2}$ de los lados $AB$ y $CD$: