Problema 5 · El valor de x⁶ sin números complejos
Multiplicar por $(x+1)$ y descubrir que $x^{3} = -1$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoSi $x^{2} - x + 1 = 0$, ¿cuánto vale $x^{6}$? (Observación: esta ecuación no tiene solución real, pero puedes hallar el valor de $x^{6}$ sin ningún conocimiento de números complejos).
Copa Cangur · SCM
Fácil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: $x^{2} - x + 1$ es justamente el factor que aparece en la suma de cubos: $(x+1)(x^{2}-x+1) = x^{3} + 1$.
Multiplicamos la ecuación por $(x+1)$:
$$(x+1)(x^{2} - x + 1) = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3} + 1 = 0 \;\Longrightarrow\; x^{3} = -1.$$
Por tanto:
$$x^{6} = \left(x^{3}\right)^{2} = (-1)^{2} = 1.$$
Respuesta: 1