Problema 4 · Dos números de la lista del 1 al 50
El truco de sumar 1: factorizar $(a+1)(b+1) = 1276$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoHacemos una lista con todos los números naturales desde el 1 hasta el 50. De la lista sacamos dos números, de manera que el producto de estos dos números es igual a la suma de los números que han quedado en la lista. ¿Cuáles son estos dos números? (Como respuesta escribe consecutivamente los dos números, empezando por el más pequeño. Por ejemplo, si los dos números son el 7 y el 83, escribe 783).
Solución razonada
Idea clave: la suma $1 + 2 + \cdots + 50 = \dfrac{50 \cdot 51}{2} = 1275$. Si quitamos $a$ y $b$, la condición es $ab = 1275 - a - b$.
Lo pasamos todo a un lado y sumamos $1$ para poder factorizar:
Factorizamos: $1276 = 2^{2} \cdot 11 \cdot 29$. Necesitamos dos factores entre $2$ y $51$ (porque $1 \le a < b \le 50$). La única descomposición válida es
Comprobación: $28 \cdot 43 = 1204 = 1275 - 28 - 43$ ✓. Las otras parejas de divisores ($22 \cdot 58$, $11 \cdot 116$...) tienen algún factor mayor que $51$.