Problema 10 · Dos triángulos superpuestos por la hipotenusa
Unión de áreas: $2 \cdot 14$ menos el triángulo de solapamiento.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoLos catetos de dos triángulos rectángulos iguales miden 4 cm y 7 cm. En la figura se han dibujado los dos triángulos superpuestos de manera que las hipotenusas coincidan, donde $AD = BC = 4$ cm y $AC = BD = 7$ cm. Calcula el área total de la figura. (Si la solución es una fracción, escribe consecutivamente el numerador y el denominador de la fracción irreducible. Por ejemplo, si la solución es $2/3$, da como respuesta 23).
Solución razonada
Idea clave: área de la unión $=$ suma de las dos áreas menos el solapamiento, que es el triángulo $ABX$ con $X$ el punto donde se cruzan $AC$ y $BD$.
Cada triángulo tiene área $\dfrac{4 \cdot 7}{2} = 14$, y la hipotenusa común mide $AB = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}$.
Ponemos $A = (0,0)$ y $B = (\sqrt{65}, 0)$. Por la simetría de la figura (los dos triángulos son reflejos respecto de la mediatriz de $AB$), el punto $X$ está sobre $x = \tfrac{\sqrt{65}}{2}$.
El vértice $C$ tiene coordenadas $\left(\tfrac{49}{\sqrt{65}},\ \tfrac{28}{\sqrt{65}}\right)$ (proyección $AC^{2}/AB$ y altura $\tfrac{4\cdot 7}{\sqrt{65}}$), así que la recta $AC$ tiene pendiente $\dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}$. En $x = \tfrac{\sqrt{65}}{2}$: