Problema 10 · Dos triangles superposats per la hipotenusa
Unió d'àrees: $2 \cdot 14$ menys el triangle de solapament.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEls catets de dos triangles rectangles iguals mesuren 4 cm i 7 cm. A la figura s'hi han dibuixat els dos triangles superposats de manera que les hipotenuses coincideixin, on $AD = BC = 4$ cm i $AC = BD = 7$ cm. Calculeu l'àrea total de la figura. (Si la solució és una fracció, escriviu consecutivament el numerador i el denominador de la fracció irreductible. Per exemple, si la solució és $2/3$, doneu com a resposta 23).
Solució raonada
Idea clau: àrea de la unió $=$ suma de les dues àrees menys el solapament, que és el triangle $ABX$ amb $X$ el punt on es creuen $AC$ i $BD$.
Cada triangle té àrea $\dfrac{4 \cdot 7}{2} = 14$, i la hipotenusa comuna fa $AB = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}$.
Posem $A = (0,0)$ i $B = (\sqrt{65}, 0)$. Per la simetria de la figura (els dos triangles són reflexos respecte de la mediatriu d'$AB$), el punt $X$ és sobre $x = \tfrac{\sqrt{65}}{2}$.
El vèrtex $C$ té coordenades $\left(\tfrac{49}{\sqrt{65}},\ \tfrac{28}{\sqrt{65}}\right)$ (projecció $AC^{2}/AB$ i altura $\tfrac{4\cdot 7}{\sqrt{65}}$), així que la recta $AC$ té pendent $\dfrac{28}{49} = \dfrac{4}{7}$. A $x = \tfrac{\sqrt{65}}{2}$: