Problema 13 · Perímetro de una región sombreada
Tres rectángulos inclinados 45° sobre la diagonal de un cuadrado.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn la figura, $ABCD$ es un cuadrado mientras que $EFGH$, $HIKL$ y $LMNP$ son simplemente rectángulos. El lado $AB$ del cuadrado mide $16\sqrt{2}$ cm y el segmento $ID$ mide $6\sqrt{2}$ cm. ¿Cuál es el perímetro de la región sombreada, en centímetros?
Solución razonada
Idea clave: todos los lados de los tres rectángulos forman $45°$ con los lados del cuadrado, y los puntos $H$ y $L$ están sobre la diagonal $AC$. ¡El perímetro de los dos rectángulos pequeños no depende de su posición exacta!
La diagonal del cuadrado mide $AC = 16\sqrt{2}\cdot\sqrt{2} = 32$ cm.
Rectángulo central $HIKL$ (lado $HL$ sobre la diagonal). Tenemos $AI = AD - ID = 16\sqrt{2} - 6\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$. El lado $AD$ forma $45°$ con la diagonal e $IH \perp AC$, así que el triángulo $AIH$ es rectángulo isósceles:
El mismo argumento en el vértice $C$ (con $K$ en el lado $DC$ y $KL \perp AC$, y $KL = IH = 10$ por ser lados opuestos) da $CL = KL = 10$. Por tanto
Rectángulo $EFGH$ ($F$ en el lado $AB$, $H$ en la diagonal). Los lados $FE$ y $FG$ forman $45°$ con $AB$, de manera que la «profundidad» vertical de $F$ a $H$ vale $(FE+FG)\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}$. Pero esa profundidad es la distancia de $H$ al lado $AB$, que vale $AH\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Así,
esté donde esté exactamente el punto $F$.
Rectángulo $LMNP$ ($N$ en el lado $BC$, $L$ en la diagonal): el mismo argumento con la distancia de $L$ al lado $BC$, que vale $CL\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$, da perímetro $20$.
Los tres rectángulos solo se tocan en los puntos $H$ y $L$, así que el perímetro de la región sombreada es la suma: