Problema 14 · Dos cuadrados en una circunferencia
Coordenadas con el centro sobre un lado: el radio sale de un 3-4-5.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoSe dibujan dos cuadrados de lados 3 cm y 4 cm dentro de una circunferencia utilizando 6 segmentos como se ve en la figura, de manera que el centro de la circunferencia está sobre el lado del cuadrado mayor. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?
Solución razonada
Idea clave: ponemos coordenadas con el centro $O$ en el origen. La condición de que los dos vértices extremos estén sobre la circunferencia determina la posición de los cuadrados, y el radio sale de un triángulo $3$-$4$-$5$.
Los dos cuadrados comparten un vértice $J$ y tienen lados sobre la misma recta horizontal (por eso la figura se dibuja con solo $6$ segmentos: dos pares de lados son colineales). Situamos esa recta en el eje $x$, con $O = (0,0)$ (el centro está sobre el lado superior del cuadrado grande) y $J = (j, 0)$.
El cuadrado pequeño ocupa $[j-3,\, j] \times [0,3]$ (por encima de la recta) y el grande $[j,\, j+4] \times [-4,0]$ (por debajo). Los vértices que tocan la circunferencia son los más alejados: la esquina superior izquierda del pequeño, $(j-3,\ 3)$, y la inferior derecha del grande, $(j+4,\ -4)$. Imponemos que equidisten de $O$:
Los vértices quedan en $(-4,\ 3)$ y $(3,\ -4)$, y el radio es