Problema 11 · Fracciones simétricas que suman 2025
Manipulación algebraica: un producto que esconde la misma suma.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoTenemos tres números $a$, $b$, $c$ que cumplen que $\dfrac{a+b}{c} + \dfrac{b+c}{a} + \dfrac{c+a}{b} = 2025$. ¿Cuál es el valor de
$$\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right)?$$
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: escribimos cada factor con un solo denominador y desarrollamos: aparecen exactamente los seis cocientes de la hipótesis.
$$\left(1+\frac{b}{a}\right)\left(1+\frac{a}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}\right) = \frac{a+b}{a}\cdot\frac{c+a}{c}\cdot\frac{b+c}{b} = \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}.$$
Desarrollando el numerador:
$$(a+b)(b+c)(c+a) = a^{2}b + a^{2}c + ab^{2} + b^{2}c + ac^{2} + bc^{2} + 2abc.$$
Al dividir por $abc$, cada término se convierte en uno de los seis cocientes $\frac{a}{c}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}, \frac{c}{a}$, más el $2$ final. Pero esos seis cocientes son exactamente los que aparecen en la condición:
$$\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} = \frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{b} = 2025.$$
$$\text{Producto} = 2025 + 2 = 2027.$$
Respuesta: 2027