Problema 10 · Segmento paralelo en un triángulo
Semejanza y razón de áreas 1 : 3.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn el triángulo $ABC$ trazamos un segmento $DE$ paralelo a $AB$ tal como se ve en la figura, de manera que el área de $DCE$ es la mitad de la del trapecio $ABDE$. Si sabemos que el lado $AB$ mide 45 cm, ¿cuál sería el área de un cuadrado de lado $DE$?
Copa Cangur · SCM
Fácil
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: $DE \parallel AB$ hace que los triángulos $DCE$ y $ACB$ sean semejantes, y la razón de áreas de figuras semejantes es el cuadrado de la razón de lados.
Si $[DCE] = \tfrac{1}{2}[ABDE]$, entonces
$$[ACB] = [DCE] + [ABDE] = [DCE] + 2[DCE] = 3\,[DCE] \;\Longrightarrow\; \frac{[DCE]}{[ACB]} = \frac{1}{3}.$$
Por semejanza:
$$\left(\frac{DE}{AB}\right)^{2} = \frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; DE^{2} = \frac{AB^{2}}{3} = \frac{2025}{3} = 675.$$
El área del cuadrado de lado $DE$ es precisamente $DE^{2}$.
Respuesta: 675