Problema 10 · El producto que esquiva el 18
Como $18 = 2 \cdot 3^2$, basta con controlar los treses.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoClara escribió unos cuantos números enteros positivos, todos diferentes entre sí y estrictamente menores que $101$. Calculó su producto y obtuvo un número no divisible por $18$. ¿Cuántos números, como máximo, puede haber escrito Clara?
Solución razonada
Idea clave: $18 = 2 \cdot 3^2$: el producto se escapa si le falta el factor $2$ o si tiene como máximo un factor $3$.
Entre $1$ y $100$ hay $33$ múltiplos de $3$, es decir $67$ números que no lo son. Clara puede coger todos esos $67$ y añadir un múltiplo de $3$ que no lo sea de $9$ (por ejemplo el $3$): el producto tiene exactamente un factor $3$, no es divisible por $9$ y por tanto tampoco por $18$. Total: $68$ números.
No se puede hacer mejor: con $69$ números habría al menos dos múltiplos de $3$ (solo hay $67$ que no lo son), de modo que $9$ dividiría el producto; y como solo hay $50$ impares, también habría algún par. El producto sería múltiplo de $2 \cdot 9 = 18$.