Problema 10 · El producte que esquiva el 18
Com que $18 = 2 \cdot 3^2$, n'hi ha prou amb controlar els tresos.
Resposta entera de 4 xifres com a màximLa Clara va escriure uns quants nombres enters positius, tots diferents entre si i estrictament més petits que $101$. Va calcular el seu producte i va obtenir un nombre no divisible per $18$. Quants nombres, com a màxim, pot haver escrit la Clara?
Solució raonada
Idea clau: $18 = 2 \cdot 3^2$: el producte s'escapa si li falta el factor $2$ o si té com a màxim un factor $3$.
Entre $1$ i $100$ hi ha $33$ múltiples de $3$, és a dir $67$ nombres que no ho són. La Clara pot agafar tots aquests $67$ i afegir-hi un múltiple de $3$ que no ho sigui de $9$ (per exemple el $3$): el producte té exactament un factor $3$, no és divisible per $9$ i per tant tampoc per $18$. Total: $68$ nombres.
No es pot fer millor: amb $69$ nombres n'hi hauria com a mínim dos de múltiples de $3$ (només n'hi ha $67$ que no ho són), de manera que $9$ dividiria el producte; i com que només hi ha $50$ senars, també hi hauria algun parell. El producte seria múltiple de $2 \cdot 9 = 18$.