Problema 9 · Áreas entre paralelas
Tres regiones, una sola incógnita: la razón de semejanza $p$.
Respuesta entera de 4 cifras como máximoEn la imagen ves un triángulo subdividido en otros triángulos más pequeños. Está indicada el área de uno de los triángulos, y también sabemos que el área sombreada es igual a $180$ cm$^2$. Los lados que están marcados de la misma manera son paralelos. ¿Cuánto vale el área del triángulo marcado con un interrogante?
Solución razonada
Idea clave: llamemos $L$, $T$, $R$ a los vértices del triángulo grande (izquierda, arriba, derecha), $D$ al punto de la base, y $S$ al área total. Sea $p = \tfrac{LD}{LR}$.
El segmento con una marca sale de $D$ paralelo al lado $TR$, y el de dos marcas sale de $D$ paralelo al lado $LT$. Esto crea dos triángulos semejantes al grande:
Las dos regiones grises son triángulos con base sobre el lado $LT$ (sus bases suman el tramo superior, de longitud $(1-p) \cdot LT$) y vértices en $D$ y en el punto del lado derecho, ambos a distancia $p \cdot h$ de la recta $LT$. Por tanto, juntas valen
Dividiendo: $\tfrac{1-p}{p} = \tfrac{180}{120} = \tfrac{3}{2}$, así que $p = \tfrac{2}{5}$ y $S = \tfrac{120}{p^2} = 750$.