Problema 5 · Tres primos, producto y suma
Uno de los primos debe ser 5, y $(q-1)(r-1) = 6$ hace el resto.
Respuesta entera de 4 cifras como máximo¿Cuántas ternas de números primos hay que cumplan la condición de que su producto es 5 veces su suma?
Copa Cangur · SCM
Media
Respuesta cerrada
Solución razonada
Idea clave: si $pqr = 5(p+q+r)$, el producto es múltiplo de $5$; como $p$, $q$, $r$ son primos, uno de ellos es exactamente $5$.
Ponemos $p = 5$: la ecuación queda $5qr = 5(5 + q + r)$, es decir $qr = 5 + q + r$. Reorganizamos para factorizar:
$$qr - q - r + 1 = 6 \;\Longleftrightarrow\; (q-1)(r-1) = 6.$$
Las descomposiciones de $6$: $1 \cdot 6$ da $(q, r) = (2, 7)$ — ambos primos ✓; $2 \cdot 3$ da $(q, r) = (3, 4)$ — y $4$ no es primo ✗.
La única terna es $\{2, 5, 7\}$: producto $70 = 5 \cdot 14 = 5(2+5+7)$ ✓.
Respuesta: 1