Problema 5 · Tres primers, producte i suma
Un dels primers ha de ser 5, i $(q-1)(r-1) = 6$ fa la resta.
Resposta entera de 4 xifres com a màximQuantes ternes de nombres primers hi ha que compleixin la condició que el seu producte és 5 vegades la seva suma?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: si $pqr = 5(p+q+r)$, el producte és múltiple de $5$; com que $p$, $q$, $r$ són primers, un d'ells és exactament $5$.
Posem $p = 5$: l'equació queda $5qr = 5(5 + q + r)$, és a dir $qr = 5 + q + r$. Reorganitzem per factoritzar:
$$qr - q - r + 1 = 6 \;\Longleftrightarrow\; (q-1)(r-1) = 6.$$
Les descomposicions de $6$: $1 \cdot 6$ dona $(q, r) = (2, 7)$ — tots dos primers ✓; $2 \cdot 3$ dona $(q, r) = (3, 4)$ — i $4$ no és primer ✗.
L'única terna és $\{2, 5, 7\}$: producte $70 = 5 \cdot 14 = 5(2+5+7)$ ✓.
Resposta: 1