Problema 12 · El área gris de los tres cuadrados

Solución razonada

Idea clave: los tres cuadrados cuelgan alineados por arriba. Las tres marcas iguales (de longitud $t$) son: todo el lado derecho del cuadrado pequeño, el tramo inferior del lado derecho del mediano y el tramo inferior del lado derecho del grande.

Medidas. El cuadrado pequeño tiene lado $c = t$. El mediano llega hasta profundidad $2t$ (su lado derecho tiene el tramo marcado de $t$ por debajo del nivel $t$): lado $2t$. El grande, análogamente: lado $3t$. Como $3t + 2t + t = 24$, tenemos $t = 4$: lados $12$, $8$ y $4$.

Las dos rectas. Con origen en el vértice superior izquierdo: una recta va hasta el vértice inferior derecho del cuadrado grande $(12, 12)$, y la otra hasta el vértice inferior derecho del pequeño $(24, 4)$ (pendiente $\tfrac{1}{6}$). El gris queda entre las dos líneas dentro del grande, y entre la línea suave y las bases dentro del mediano y el pequeño.

Áreas. Triángulo del cuadrado grande, con base vertical en $x = 12$ desde $y = 2$ (línea suave) hasta $y = 12$:

Trapecio del mediano, entre la línea suave y su base $y = 8$ (lados verticales $6$ y $\tfrac{14}{3}$, anchura $8$): $A_2 = \tfrac{1}{2}\left(6 + \tfrac{14}{3}\right) \cdot 8 = \tfrac{128}{3}$. Triángulo del pequeño, entre la línea y su base $y = 4$: $A_3 = \tfrac{1}{2} \cdot \tfrac{2}{3} \cdot 4 = \tfrac{4}{3}$.