Exercici 4 · Probabilitat i matrius — Estudiants universitaris (Opció A)
Probabilitat simple i condicionada en una taula de contingència; productes de matrius per a totals i ingressos.
Puntuació màxima · 2,5 puntsLa taula següent recull el nombre d'estudiants de grau (G), màster (M) i doctorat (D) matriculats a les tres facultats —Ciències (C), Enginyeria (I) i Lletres (L)— d'una petita universitat.
- Si s'escull un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui un estudiant de doctorat de la Facultat de Lletres? Si s'escull a l'atzar un estudiant que cursa un màster, quina és la probabilitat que estudiï a la Facultat d'Enginyeria? 1,25 p
- Expresseu la informació de la taula (sense els totals) mitjançant una matriu $3 \times 3$ i calculeu, utilitzant un producte de matrius, el vector amb el nombre total d'estudiants de grau, màster i doctorat de la universitat. Se sap que els estudiants de grau paguen 1000 € de matrícula; els de màster, 1500 €, i els de doctorat, 500 €. Mitjançant un producte de matrius, calculeu l'import total que ingressa la universitat en concepte de matrícules. 1,25 p
Correcció pas a pas
Idea clau: en una taula de contingència, la probabilitat d'una intersecció és la casella dividida pel total general, i una probabilitat condicionada és la casella dividida pel total de la fila o columna que condiciona.
a) Probabilitat simple i condicionada
Probabilitat que sigui de doctorat i de la Facultat de Lletres (casella $D \cap L$ sobre el total):
Si sabem que cursa un màster, el condicionant és la columna M (533 estudiants):
b) Productes de matrius
Matriu $3 \times 3$ de la taula (files = facultats, columnes = nivells G, M, D):
Per sumar les columnes (total per nivell), multipliquem per l'esquerra pel vector fila $(1\;\;1\;\;1)$:
És a dir, 1333 estudiants de grau, 533 de màster i 134 de doctorat.
Amb el vector de preus de matrícula $(1000,\ 1500,\ 500)$ en columna: