Exercici 4 · Probabilitat i estudiants becats (Opció B)
Probabilitat simple i condicionada en una taula de contingència; sistema lineal per determinar els becats per nivell.
Puntuació màxima · 2,5 puntsLa taula següent recull el nombre d'estudiants de grau (G), màster (M) i doctorat (D) matriculats a les tres facultats —Ciències (C), Enginyeria (I) i Lletres (L)— d'una petita universitat.
- Si s'escull un estudiant a l'atzar, quina és la probabilitat que sigui un estudiant de màster de la Facultat de Ciències? Si s'escull a l'atzar un estudiant de la Facultat d'Enginyeria, quina és la probabilitat que cursi un màster? 1,25 p
- Se sap que, en total, hi ha 1036 estudiants que gaudeixen d'una beca. També se sap que, si es consideren conjuntament els estudiants de grau i màster, la meitat estan becats, i que hi ha el mateix nombre d'estudiants becats de màster que de doctorat. Determineu quants estudiants becats hi ha de cada nivell educatiu (grau, màster i doctorat). 1,25 p
Correcció pas a pas
Idea clau: a l'apartat a) treballem amb la taula com a espai mostral; a l'apartat b) anomenem $g$, $m$ i $d$ els becats de grau, màster i doctorat i traduïm cada frase de l'enunciat a una equació.
a) Probabilitat simple i condicionada
Probabilitat que sigui de màster i de la Facultat de Ciències:
Si sabem que és de la Facultat d'Enginyeria, el condicionant és la fila I (668 estudiants):
b) Sistema per als becats
Siguin $g$, $m$ i $d$ els nombres d'estudiants becats de grau, màster i doctorat. Les tres condicions:
Substituïm la segona equació a la primera:
Comprovació: $830 + 103 + 103 = 1036$ ✓; a més, els valors són coherents amb la taula ($830 \le 1333$, $103 \le 533$, $103 \le 134$).