Pregunta 5 · Suma de dos voltatges alterns

Suma de dues sinusoides de la mateixa freqüència amb fasors; amplitud i desfasament; període i freqüència; font invertida

Puntuació màxima · 16 punts

Dues fonts de corrent altern de la mateixa freqüència produeixen els voltatges, en volts,

V_1 = 120\sin\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{6}\right), \qquad V_2 = 90\sin\left(100\pi t + \dfrac{2\pi}{3}\right),

on $t$ és el temps en segons. Les dues fonts es connecten de manera que el voltatge resultant és $V = V_1 + V_2$.

Justifica que $V = \operatorname{Im}\left(e^{100\pi t\,i}\left(120e^{\frac{\pi}{6}i} + 90e^{\frac{2\pi}{3}i}\right)\right)$. 3 p
Escriu $V$ en la forma $R\sin(100\pi t + \alpha)$, amb $R > 0$ i $\alpha$ en radians. 5 p
Troba el període i la freqüència del voltatge resultant. 3 p
La segona font es connecta invertida, cosa que equival a sumar $\pi$ al seu desfasament. Troba l'amplitud i el desfasament del nou voltatge resultant i explica per què l'amplitud no ha canviat. 5 p

IB AI HL TANS 1.13

Correcció pas a pas

a) Per què val la part imaginària

Per a cada font,

\operatorname{Im}\left(e^{100\pi t\,i}\,A e^{\varphi i}\right) = \operatorname{Im}\left(A e^{(100\pi t + \varphi)i}\right) = A\sin(100\pi t + \varphi)

Com que la part imaginària d'una suma és la suma de les parts imaginàries i les dues fonts tenen la mateixa freqüència, es pot treure factor comú $e^{100\pi t\,i}$ i sumar els dos nombres complexos.

Cada font com a part imaginària 2 p, factor comú 1 p.

b) Amplitud i desfasament

120e^{\frac{\pi}{6}i} + 90e^{\frac{2\pi}{3}i} \approx 58{,}9 + 137{,}9\,i

Els dos sumands formen un angle de $\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, així que el mòdul surt per Pitàgores:

R = \sqrt{120^2 + 90^2} = 150, \qquad \alpha = \arg(58{,}9 + 137{,}9\,i) \approx 1{,}17\ \text{rad}\ (\approx 66{,}9^\circ)

$V = 150\sin(100\pi t + 1{,}17)$

Suma dels complexos 2 p, mòdul 1 p, argument 1 p, expressió final 1 p.

c) Període i freqüència

b = 100\pi \;\Longrightarrow\; T = \dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02\ \text{s}, \qquad f = \dfrac{1}{T} = 50\ \text{Hz}

Període 2 p, freqüència 1 p.

d) La font invertida

Ara $90e^{\left(\frac{2\pi}{3} + \pi\right)i} = -90e^{\frac{2\pi}{3}i}$, per tant

120e^{\frac{\pi}{6}i} - 90e^{\frac{2\pi}{3}i} \approx 148{,}9 - 17{,}9\,i

de mòdul $150$ i argument $-0{,}120$ rad ($\approx -6{,}87^\circ$):

$V = 150\sin(100\pi t - 0{,}120)$

L'amplitud no canvia perquè el desfasament entre les dues fonts continua sent de $90^\circ$ en valor absolut: $\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ i $\frac{2\pi}{3} + \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$. Els dos vectors del pla complex continuen sent perpendiculars i, per Pitàgores, $R = \sqrt{120^2 + 90^2} = 150$ en tots dos casos; l'únic que canvia és la direcció de la suma, és a dir, el desfasament.

Nova suma 2 p, mòdul i argument 1 p, expressió 1 p, explicació 1 p.