Pregunta 3 · Complexos en forma polar i d'Euler
Mòdul i argument exactes; producte i quocient en polar; De Moivre; arrels conjugades
Puntuació màxima · 14 puntsEs consideren els nombres complexos $z_1 = 3 - 3i$ i $z_2 = -1 + \sqrt{3}\,i$.
- Escriu $z_1$ i $z_2$ en forma mòdul-argument, $r\operatorname{cis}\theta$, i en forma d'Euler. Dona els mòduls i els arguments de forma exacta. 4 p
- Troba $z_1z_2$ i $\dfrac{z_1}{z_2}$ en forma mòdul-argument. Escriu també $z_1z_2$ en forma binòmica, amb tres xifres significatives. 4 p
- Troba $z_2^{6}$ en forma binòmica, justificant el procediment utilitzat. 3 p
- Escriu una equació de segon grau amb coeficients reals que tingui $z_2$ com una de les seves solucions. Justifica la resposta. 3 p
IB AI HL
TANS 1.12
TANS 1.13
Correcció pas a pas
a) Forma polar i d'Euler
$$|z_1| = \sqrt{3^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{2}, \qquad \arg z_1 = -\dfrac{\pi}{4}\ \text{(quart quadrant)}$$
$$|z_2| = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = 2, \qquad \arg z_2 = \dfrac{2\pi}{3}\ \text{(segon quadrant)}$$
$z_1 = 3\sqrt{2}\operatorname{cis}\left(-\frac{\pi}{4}\right) = 3\sqrt{2}\,e^{-\frac{\pi}{4}i}, \qquad z_2 = 2\operatorname{cis}\frac{2\pi}{3} = 2\,e^{\frac{2\pi}{3}i}$
Cada mòdul 1 p, cada argument 1 p.
b) Producte i quocient
Es multipliquen (divideixen) els mòduls i se sumen (resten) els arguments:
$$z_1z_2 = 6\sqrt{2}\operatorname{cis}\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) \approx 2{,}20 + 8{,}20\,i, \qquad \dfrac{z_1}{z_2} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\operatorname{cis}\left(-\dfrac{11\pi}{12}\right)$$
Producte 2 p, forma binòmica 1 p, quocient 1 p.
c) Potència sisena
Pel teorema de De Moivre,
$$z_2^{6} = 2^{6}\operatorname{cis}\left(6\cdot\dfrac{2\pi}{3}\right) = 64\operatorname{cis}(4\pi) = 64$$
$z_2^6 = 64$
Ús de De Moivre 1 p, mòdul 1 p, argument i conclusió 1 p.
d) Equació amb coeficients reals
Amb coeficients reals, les arrels no reals surten en parells conjugats, així que l'altra arrel és $\bar{z}_2 = -1 - \sqrt{3}\,i$. La seva suma és $-2$ i el seu producte $|z_2|^2 = 4$, d'on
$x^2 + 2x + 4 = 0$
Arrel conjugada 1 p, suma i producte 1 p, equació 1 p.