Pregunta 2 · Model sinusoïdal: les marees d'un port
Paràmetres de $a\sin(b(t-c))+d$ a partir de la marea alta i la baixa; inequació amb tecnologia; límits del model
Puntuació màxima · 18 puntsLa fondària de l'aigua a la bocana d'un port es pot modelitzar amb
on $h$ és la fondària, en metres, i $t$ el temps, en hores, transcorregut des de la mitjanit. Un dia concret es registra una marea alta de $12{,}6$ m a les 4:00 i la marea baixa següent, de $5{,}4$ m, a les 10:15.
- Troba els valors de $a$ i de $d$, i interpreta el significat de cadascun en el context del problema. 4 p
- Troba el període del model i, a partir d'ell, els valors de $b$ i de $c$. 5 p
- Troba la fondària de l'aigua a les 13:00. 3 p
- Un vaixell només pot entrar al port si la fondària de l'aigua és d'almenys $11$ m. Troba l'interval de temps, durant les primeres $12$ hores del dia, en què el vaixell pot entrar. 4 p
- Explica una limitació d'aquest model si es volgués fer servir per predir la fondària de l'aigua d'aquí a un mes. 2 p
Correcció pas a pas
a) Amplitud i fondària mitjana
$a$ és l'amplitud: la variació màxima, en metres, respecte de la fondària mitjana. $d = 9$ m és la fondària mitjana de l'aigua.
Cada càlcul 1 p, cada interpretació 1 p.
b) Període, $b$ i $c$
De marea alta a marea baixa passa mig període:
El màxim s'assoleix a $t = 4$, de manera que $b(4 - c) = \frac{\pi}{2}$ i per tant
Període 2 p, $b$ 1 p, $c$ 2 p.
c) Fondària a les 13:00
Substitució 1 p, calculadora en radians 1 p, resultat 1 p.
d) Quan pot entrar el vaixell
Amb tecnologia, $h(t) = 11$ per a $t \approx 2{,}05$ i $t \approx 5{,}95$.
Plantejament 2 p, les dues solucions 1 p, interval correcte 1 p.
e) Una limitació
Qualsevol limitació raonada. Per exemple: el model suposa amplitud i període constants, mentre que l'amplitud real de les marees varia al llarg del mes amb les fases de la lluna (marees vives i mortes); tampoc no recull l'efecte de la pressió atmosfèrica ni del vent.
Limitació 1 p, justificació en el context 1 p.