Repàs de 3r d'ESO · Reptes matemàtics

Descarrega la fitxa (PDF) Descarrega les solucions (PDF)

Fes els exercicis següents per preparar el control del 5 d'octubre.

Cada apartat porta la solució plegada: obre el ▶ quan ho hagis intentat.

Exercici 1

En una escola de $480$ alumnes, el $25\ \%$ practica un esport d'equip, el $30\ \%$ practica un esport individual i el $15\ \%$ practica tots dos tipus.

a) Quants alumnes practiquen esport d'equip?

480 \cdot 0{,}25 = 120

$120$ alumnes.

b) Quants practiquen esport individual?

480 \cdot 0{,}30 = 144

$144$ alumnes.

c) Quants practiquen tots dos tipus?

480 \cdot 0{,}15 = 72

$72$ alumnes.

d) Quin percentatge de l'escola practica almenys un dels dos tipus d'esport?

Cal no comptar dues vegades els que fan tots dos tipus:

25\ \% + 30\ \% - 15\ \% = 40\ \%

e) Quants alumnes representa?

480 \cdot 0{,}40 = 192

$192$ alumnes. Comprovació: $120 + 144 - 72 = 192$.

Exercici 2

En una biblioteca hi ha $1\,200$ llibres. El $35\ \%$ són novel·les. D'aquestes novel·les, el $40\ \%$ estan escrites originàriament en català.

a) Quantes novel·les hi ha?

1\,200 \cdot 0{,}35 = 420

$420$ novel·les.

b) Quantes són originàriament en català?

420 \cdot 0{,}40 = 168

$168$ novel·les.

c) Quin percentatge del total de llibres representen aquestes novel·les en català?

\dfrac{168}{1\,200} = 0{,}14

És a dir, el $14\ \%$. També surt directament: $0{,}35 \cdot 0{,}40 = 0{,}14$.

Exercici 3

Un dipòsit està format per un cilindre de radi $4$ m i altura $10$ m i, a la part superior, una semiesfera del mateix radi. A l'interior hi ha una estructura cilíndrica sòlida de radi $1{,}5$ m i altura $8$ m que ocupa espai. Calcula la capacitat real del dipòsit en m³. Recorda que $V_{\text{cilindre}} = \pi r^2 h$ i $V_{\text{esfera}} = \frac{4}{3}\pi r^3$.

Veure la solució

Cilindre:

\pi \cdot 4^2 \cdot 10 = 160\pi

Semiesfera (la meitat d'una esfera):

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \dfrac{128}{3}\pi

Estructura interior, que es resta perquè ocupa espai:

\pi \cdot 1{,}5^2 \cdot 8 = 18\pi

Capacitat:

160\pi + \dfrac{128}{3}\pi - 18\pi = \dfrac{554}{3}\pi \approx 579{,}85 \text{ m}^3

Amb $\pi = 3{,}14$. Amb la tecla $\pi$ de la calculadora surt $580{,}12\ \text{m}^3$.

Exercici 4

Una peça metàl·lica té forma de cilindre de radi exterior $6$ cm i altura $15$ cm. Al centre s'hi practica un forat cilíndric que travessa tota la peça i té radi $2$ cm. Utilitza $\pi = 3{,}14$.

a) Calcula el volum de metall que queda.

V = \pi \cdot 6^2 \cdot 15 - \pi \cdot 2^2 \cdot 15 = \pi \cdot 15 \cdot (36 - 4) = 480\pi = 1\,507{,}2 \text{ cm}^3

b) Calcula quants cm³ de metall s'han eliminat en fer el forat.

V_{\text{forat}} = \pi \cdot 2^2 \cdot 15 = 60\pi = 188{,}4 \text{ cm}^3

Exercici 5

Una pista té forma d'un rectangle de $30$ m de llarg i $16$ m d'ample, amb un semicercle a cadascun dels costats curts. A l'interior hi ha una zona de la mateixa forma, amb un rectangle de $30 \times 10$ m i dos semicercles de diàmetre $10$ m. Calcula l'àrea de la pista, és a dir, la zona compresa entre la figura exterior i la interior.

Veure la solució

Figura exterior: el rectangle de $30 \times 16$ més dos semicercles de diàmetre $16$ (radi $8$), que junts fan un cercle:

30 \cdot 16 + \pi \cdot 8^2 = 480 + 64\pi

Figura interior: el rectangle de $30 \times 10$ més un cercle de radi $5$:

30 \cdot 10 + \pi \cdot 5^2 = 300 + 25\pi

Pista:

(480 + 64\pi) - (300 + 25\pi) = 180 + 39\pi \approx 180 + 122{,}46 = 302{,}46 \text{ m}^2

Amb $\pi = 3{,}14$. Amb la tecla $\pi$ surt $302{,}52\ \text{m}^2$.

Exercici 6

Una placa quadrada té $20$ cm de costat. Al centre hi ha dos cercles concèntrics: el cercle gran té radi $9$ cm i el petit, radi $5$ cm. La zona ombrejada és la part del quadrat que queda fora del cercle gran, juntament amb l'interior del cercle petit. Calcula l'àrea total ombrejada.

Veure la solució

Quadrat:

$$20^2 = 400$$

Cercle gran i cercle petit:

\pi \cdot 9^2 = 81\pi \qquad \pi \cdot 5^2 = 25\pi

Ombrejat: el quadrat sense el cercle gran, més el cercle petit:

400 - 81\pi + 25\pi = 400 - 56\pi \approx 400 - 175{,}84 = 224{,}16 \text{ cm}^2

Amb $\pi = 3{,}14$.

Exercici 7

Un quadrat té $12$ cm de costat. Des de cadascun dels quatre vèrtexs es dibuixa, cap a l'interior, un quart de cercle de radi $6$ cm. Calcula l'àrea de la zona ombrejada, és a dir, la part del quadrat que no queda coberta pels quatre quarts de cercle. Utilitza $\pi = 3{,}14$.

Veure la solució

Els quatre quarts de cercle de radi $6$ cm sumen un cercle sencer:

A_{\text{cercles}} = \pi \cdot 6^2 = 3{,}14 \cdot 36 = 113{,}04 \text{ cm}^2

Àrea del quadrat i zona ombrejada:

12^2 = 144 \qquad 144 - 113{,}04 = 30{,}96 \text{ cm}^2