Problema 14 · Dos quadrats en una circumferència
Coordenades amb el centre sobre un costat: el radi surt d'un 3-4-5.
Resposta entera de 4 xifres com a màximEs dibuixen dos quadrats de costats 3 cm i 4 cm dins d'una circumferència utilitzant 6 segments com es veu a la figura, de manera que el centre de la circumferència és sobre el costat del quadrat més gran. Quant mesura el radi de la circumferència?
Solució raonada
Idea clau: posem coordenades amb el centre $O$ a l'origen. La condició que els dos vèrtexs extrems siguin sobre la circumferència determina la posició dels quadrats, i el radi surt d'un triangle $3$-$4$-$5$.
Els dos quadrats comparteixen un vèrtex $J$ i tenen costats sobre la mateixa recta horitzontal (per això la figura es dibuixa amb només $6$ segments: dos parells de costats són col·lineals). Situem aquesta recta a l'eix $x$, amb $O = (0,0)$ (el centre és sobre el costat superior del quadrat gran) i $J = (j, 0)$.
El quadrat petit ocupa $[j-3,\, j] \times [0,3]$ (per sobre de la recta) i el gran $[j,\, j+4] \times [-4,0]$ (per sota). Els vèrtexs que toquen la circumferència són els més allunyats: la cantonada superior esquerra del petit, $(j-3,\ 3)$, i la inferior dreta del gran, $(j+4,\ -4)$. Imposem que equidistin de $O$:
Els vèrtexs queden a $(-4,\ 3)$ i $(3,\ -4)$, i el radi és