Problema 10 · Segment paral·lel en un triangle
Semblança i raó d'àrees 1 : 3.
Resposta entera de 4 xifres com a màximAl triangle $ABC$ hi tracem un segment $DE$ paral·lel a $AB$ tal com es veu a la figura, de manera que l'àrea de $DCE$ és la meitat de la del trapezi $ABDE$. Si sabem que el costat $AB$ fa 45 cm, quina seria l'àrea d'un quadrat de costat $DE$?
Copa Cangur · SCM
Fàcil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: $DE \parallel AB$ fa que els triangles $DCE$ i $ACB$ siguin semblants, i la raó d'àrees de figures semblants és el quadrat de la raó de costats.
Si $[DCE] = \tfrac{1}{2}[ABDE]$, aleshores
$$[ACB] = [DCE] + [ABDE] = [DCE] + 2[DCE] = 3\,[DCE] \;\Longrightarrow\; \frac{[DCE]}{[ACB]} = \frac{1}{3}.$$
Per semblança:
$$\left(\frac{DE}{AB}\right)^{2} = \frac{1}{3} \;\Longrightarrow\; DE^{2} = \frac{AB^{2}}{3} = \frac{2025}{3} = 675.$$
L'àrea del quadrat de costat $DE$ és precisament $DE^{2}$.
Resposta: 675