Problema 10 · Les 60 monedes substituïdes
Classificar cada posició per l'última substitució que la toca.
Resposta entera de 4 xifres com a màximCol·loquem en fila 60 monedes de 20 cèntims. Agafem les monedes que ocupen els llocs $2, 4, 6, \dots, 60$, i les substituïm per monedes de 10 cèntims. A continuació agafem les monedes que ara ocupen les posicions $3, 6, 9, \dots, 60$ i les substituïm per monedes de 5 cèntims. Finalment agafem les monedes que ara ocupen les posicions $4, 8, 12, \dots, 60$ i les substituïm per monedes de 2 cèntims. Quants cèntims sumen les 60 monedes que han quedat?
Solució raonada
Idea clau: el valor final d'una posició el decideix l'última substitució que la toca: primer mirem si és múltiple de 4, després de 3, després de 2.
Múltiples de $4$ (acaben amb $2$ ct): $15$ posicions $\to 30$ ct. Múltiples de $3$ però no de $4$ (acaben amb $5$ ct): $20 - 5 = 15 \to 75$ ct. Parells que no són múltiples ni de $4$ ni de $3$ (es queden amb $10$ ct): $30 - 15 - 5 = 10 \to 100$ ct. La resta conserva els $20$ ct: $60 - 15 - 15 - 10 = 20 \to 400$ ct.