Problema 9 · Àrees entre paral·leles
Tres regions, una sola incògnita: la raó de semblança $p$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximA la imatge hi veieu un triangle subdividit en altres triangles més petits. Teniu indicada l'àrea d'un dels triangles, i també sabem que l'àrea ombrejada és igual a $180$ cm$^2$. Els costats que estan marcats de la mateixa manera són paral·lels. Quant val l'àrea del triangle marcat amb un interrogant?
Solució raonada
Idea clau: anomenem $L$, $T$, $R$ els vèrtexs del triangle gran (esquerra, dalt, dreta), $D$ el punt de la base, i $S$ l'àrea total. Sigui $p = \tfrac{LD}{LR}$.
El segment amb una marca surt de $D$ paral·lel al costat $TR$, i el de dues marques surt de $D$ paral·lel al costat $LT$. Això crea dos triangles semblants al gran:
Les dues regions grises són triangles amb base sobre el costat $LT$ (les seves bases sumen el tram superior, de longitud $(1-p) \cdot LT$) i vèrtexs a $D$ i al punt del costat dret, tots dos a distància $p \cdot h$ de la recta $LT$. Per tant, juntes valen
Dividint: $\tfrac{1-p}{p} = \tfrac{180}{120} = \tfrac{3}{2}$, així que $p = \tfrac{2}{5}$ i $S = \tfrac{120}{p^2} = 750$.