Problema 3 · Els triangles encreuats
L'altura del punt de tall no depèn de la base: $h = \tfrac{ab}{a+b}$.
Resposta entera de 4 xifres com a màximA la figura hi podeu veure dos triangles rectangles sobreposats que comparteixen un catet. Quant mesura el segment marcat amb un signe d'interrogació?
Copa Cangur · SCM
Mitjana
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: és el problema clàssic de les dues escales encreuades: l'altura del punt de tall surt de dues semblances i no depèn de l'amplada.
Posem la base comuna de longitud $L$, el costat de $20$ m a l'esquerra i el de $30$ m a la dreta. Les dues hipotenuses són les rectes $y = \tfrac{30}{L}x$ i $y = \tfrac{20}{L}(L - x)$. Al punt de tall:
$$\frac{30x}{L} = \frac{20(L-x)}{L} \;\Longrightarrow\; 30x = 20L - 20x \;\Longrightarrow\; x = \frac{2L}{5},$$
$$h = \frac{30}{L} \cdot \frac{2L}{5} = 12\ \text{m}, \qquad \text{equivalentment } \frac{1}{h} = \frac{1}{20} + \frac{1}{30}.$$
Observeu que $L$ desapareix: l'altura seria $12$ amb qualsevol amplada de la figura.
Resposta: 12