Problema 10 · Polinomis amb p(1) = 1

Solució raonada

Idea clau: $p(1)$ és la suma dels sis coeficients, i el coeficient de $x^5$ no pot ser $0$ (grau $5$).

Si el coeficient líder és $1$, els altres cinc han de sumar $0$: el mateix nombre $k$ d'uns que de menys uns. Triant posicions: $\binom{5}{0}\binom{5}{0} + \binom{5}{1}\binom{4}{1} + \binom{5}{2}\binom{3}{2}$... comptant directament: $1 + 20 + 30 = 51$ maneres.

Si el líder és $-1$, els altres cinc han de sumar $2$: dos uns i cap $-1$ ($\binom{5}{2} = 10$) o tres uns i un $-1$ ($\binom{5}{3}\binom{2}{1} = 20$): $30$ maneres.