Problema 11 · El quadrat partit en tres
Àrees iguals fixen els punts; la distància 1 fixa el costat.
Resposta entera de 4 xifres com a màximUn quadrat s'ha dividit en tres regions de la mateixa àrea, dos triangles rectangles i un paral·lelogram, de manera que els segments $AB$ i $CD$ són paral·lels i la distància entre els dos segments és d'$1$ cm, tal com es veu a la imatge. Quant val l'àrea del quadrat?
Copa Cangur · SCM
Difícil
Resposta tancada
Solució raonada
Idea clau: posem el quadrat amb $B = (0,0)$, costat $a$: les àrees iguals determinen on són $A$ i $D$.
El triangle esquerre (vèrtexs $B$, $(0,a)$ i $A = (x,a)$) té àrea $\tfrac{ax}{2} = \tfrac{a^2}{3}$, així que $x = \tfrac{2a}{3}$. Per simetria, $D = \left(\tfrac{a}{3}, 0\right)$.
La recta $BA$ és $3x - 2y = 0$ i la recta $DC$ és $3x - 2y = a$. La distància entre elles:
$$d = \frac{a}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{a}{\sqrt{13}} = 1 \;\Longrightarrow\; a^2 = 13\ \text{cm}^2.$$
Resposta: 13