Ejercicio 2 · Sistema de tres planos — discusión, interpretación geométrica y resolución
Discusión de un sistema lineal con parámetro, interpretación geométrica de los tres planos y resolución del caso compatible indeterminado.
Puntuación máxima · 2,5 puntosConsidera el siguiente sistema de ecuaciones lineales, formado por tres planos en el espacio y que depende del parámetro real $m$: $$\left\{\begin{aligned} x+my+z&=4 \\ x+3y+z&=5 \\ mx+y+z&=4 \end{aligned}\right.$$
- Discute el sistema para los diferentes valores del parámetro $m$. 1 p
- Interpreta geométricamente este sistema para todos los valores del parámetro $m$ y resuélvelo, si es posible, para el caso $m=1$. 1 p
- Para $m=1$, ¿es posible añadir una cuarta ecuación de manera que el sistema resultante sea compatible determinado y tenga como solución $(x,y,z)=\left(3,\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)$? Razona la respuesta. 0,5 p
Corrección paso a paso
Idea clave: el teorema de Rouché–Frobenius relaciona los rangos de la matriz de coeficientes $A$ y de la ampliada $A^{*}$ con el tipo de solución. El determinante de $A$ marca dónde puede fallar el rango; después hay que mirar cada valor crítico por separado.
a) Discusión según $m$
La matriz de coeficientes es $A=\begin{pmatrix}1&m&1\\1&3&1\\m&1&1\end{pmatrix}$. Calculamos su determinante:
Por tanto $\det A=0$ solo si $m=1$ o $m=3$.
Si $m\neq 1$ y $m\neq 3$: $\det A\neq 0$, así que $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A^{*})=3=$ número de incógnitas. El sistema es compatible determinado (solución única).
Si $m=1$: el sistema es $\{x+y+z=4,\ x+3y+z=5,\ x+y+z=4\}$. La 1ª y la 3ª ecuación son idénticas, de modo que solo quedan dos independientes: $\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(A^{*})=2<3$. El sistema es compatible indeterminado (infinitas soluciones, un grado de libertad).
Si $m=3$: el sistema es $\{x+3y+z=4,\ x+3y+z=5,\ 3x+y+z=4\}$. La 1ª y la 2ª tienen el mismo primer miembro pero términos independientes diferentes ($4\neq 5$): son incompatibles entre sí, de modo que $\operatorname{rang}(A)=2$ pero $\operatorname{rang}(A^{*})=3$. El sistema es incompatible (ninguna solución).
b) Interpretación geométrica y resolución para $m=1$
Cada ecuación es un plano en el espacio. La discusión anterior se traduce así:
- $m\neq 1,3$: los tres planos se cortan en un único punto (la solución única).
- $m=1$: los planos 1º y 3º son coincidentes ($x+y+z=4$) y el 2º los corta; la intersección común es una recta.
- $m=3$: los planos 1º y 2º son paralelos y diferentes ($x+3y+z=4$ y $=5$); no hay ningún punto común a los tres, por eso el sistema es incompatible.
Resolvemos el caso $m=1$. Quedan dos ecuaciones independientes:
Restando la primera a la segunda: $2y=1\Rightarrow y=\tfrac{1}{2}$. Tomamos $z=\lambda$ como parámetro; de la primera, $x=4-y-z=\tfrac{7}{2}-\lambda$.
c) Cuarta ecuación con solución $\left(3,\tfrac12,\tfrac12\right)$
Para $m=1$ las soluciones forman la recta $\left(\tfrac{7}{2}-\lambda,\ \tfrac{1}{2},\ \lambda\right)$. Comprobamos primero si el punto propuesto pertenece a ella: con $\lambda=\tfrac{1}{2}$ obtenemos $x=\tfrac{7}{2}-\tfrac{1}{2}=3$, $y=\tfrac{1}{2}$, $z=\tfrac{1}{2}$. Sí: el punto $\left(3,\tfrac12,\tfrac12\right)$ está sobre la recta de soluciones.
Añadir una cuarta ecuación equivale a añadir un cuarto plano. Si elegimos un plano que corte la recta exactamente en este punto (es decir, que pase por $\left(3,\tfrac12,\tfrac12\right)$ y no contenga la recta, por ejemplo no paralelo al director $(-1,0,1)$), el sistema pasa a tener solución única y es precisamente este punto.