Pregunta 5 · Suma de dos voltajes alternos

Suma de dos sinusoides de la misma frecuencia con fasores; amplitud y desfase; periodo y frecuencia; fuente invertida

Puntuación máxima · 16 puntos

Dos fuentes de corriente alterna de la misma frecuencia producen los voltajes, en voltios,

V_1 = 120\sin\left(100\pi t + \dfrac{\pi}{6}\right), \qquad V_2 = 90\sin\left(100\pi t + \dfrac{2\pi}{3}\right),

donde $t$ es el tiempo en segundos. Las dos fuentes se conectan de manera que el voltaje resultante es $V = V_1 + V_2$.

Justifica que $V = \operatorname{Im}\left(e^{100\pi t\,i}\left(120e^{\frac{\pi}{6}i} + 90e^{\frac{2\pi}{3}i}\right)\right)$. 3 p
Escribe $V$ en la forma $R\sin(100\pi t + \alpha)$, con $R > 0$ y $\alpha$ en radianes. 5 p
Halla el periodo y la frecuencia del voltaje resultante. 3 p
La segunda fuente se conecta invertida, lo que equivale a añadir $\pi$ a su desfase. Halla la amplitud y el desfase del nuevo voltaje resultante y explica por qué la amplitud no ha cambiado. 5 p

IB AI HL TANS 1.13

Corrección paso a paso

a) Por qué vale la parte imaginaria

Para cada fuente,

\operatorname{Im}\left(e^{100\pi t\,i}\,A e^{\varphi i}\right) = \operatorname{Im}\left(A e^{(100\pi t + \varphi)i}\right) = A\sin(100\pi t + \varphi)

Como la parte imaginaria de una suma es la suma de las partes imaginarias y las dos fuentes tienen la misma frecuencia, se puede sacar factor común $e^{100\pi t\,i}$ y sumar los dos números complejos.

Cada fuente como parte imaginaria 2 p, factor común 1 p.

b) Amplitud y desfase

120e^{\frac{\pi}{6}i} + 90e^{\frac{2\pi}{3}i} \approx 58{,}9 + 137{,}9\,i

Los dos sumandos forman un ángulo de $\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$, así que el módulo sale por Pitágoras:

R = \sqrt{120^2 + 90^2} = 150, \qquad \alpha = \arg(58{,}9 + 137{,}9\,i) \approx 1{,}17\ \text{rad}\ (\approx 66{,}9^\circ)

$V = 150\sin(100\pi t + 1{,}17)$

Suma de los complejos 2 p, módulo 1 p, argumento 1 p, expresión final 1 p.

c) Periodo y frecuencia

b = 100\pi \;\Longrightarrow\; T = \dfrac{2\pi}{100\pi} = 0{,}02\ \text{s}, \qquad f = \dfrac{1}{T} = 50\ \text{Hz}

Periodo 2 p, frecuencia 1 p.

d) La fuente invertida

Ahora $90e^{\left(\frac{2\pi}{3} + \pi\right)i} = -90e^{\frac{2\pi}{3}i}$, luego

120e^{\frac{\pi}{6}i} - 90e^{\frac{2\pi}{3}i} \approx 148{,}9 - 17{,}9\,i

de módulo $150$ y argumento $-0{,}120$ rad ($\approx -6{,}87^\circ$):

$V = 150\sin(100\pi t - 0{,}120)$

La amplitud no cambia porque el desfase entre las dos fuentes sigue siendo de $90^\circ$ en valor absoluto: $\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ y $\frac{2\pi}{3} + \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi}{2}$. Los dos vectores del plano complejo siguen siendo perpendiculares y, por Pitágoras, $R = \sqrt{120^2 + 90^2} = 150$ en los dos casos; lo único que cambia es la dirección de la suma, es decir, el desfase.

Nueva suma 2 p, módulo y argumento 1 p, expresión 1 p, explicación 1 p.