Suma de sinusoidales con la misma frecuencia · TANS 1.13

Suma de dos funciones sinusoidales

El objetivo: sumar dos funciones sinusoidales que tengan la misma frecuencia (la misma $b$) y ver que el resultado es otra sinusoidal de esa frecuencia, con una amplitud y una fase nuevas.

La idea: el seno es una parte imaginaria

Para un complejo en forma exponencial, $r\,e^{i\theta} = r\cos\theta + i\,r\sin\theta$, así que

\operatorname{Im}\left(r\,e^{i\theta}\right) = r\sin\theta \qquad\qquad \operatorname{Re}\left(r\,e^{i\theta}\right) = r\cos\theta

Con $\theta = bx + \varphi$, cualquier sinusoidal se escribe como la parte imaginaria de un producto:

A\sin(bx + \varphi) = \operatorname{Im}\left(A\,e^{i(bx + \varphi)}\right) = \operatorname{Im}\left(e^{ibx}\cdot A\,e^{i\varphi}\right)

Si $f_1(x) = A_1\sin(bx + \varphi_1)$ y $f_2(x) = A_2\sin(bx + \varphi_2)$, la parte imaginaria de una suma es la suma de las partes imaginarias, y $e^{ibx}$ sale factor común porque la frecuencia es la misma:

f_1(x) + f_2(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ibx}\left(A_1e^{i\varphi_1} + A_2e^{i\varphi_2}\right)\right)

El resultado

El paréntesis es un número complejo fijo, que no depende de $x$. Si se escribe como $R\,e^{i\alpha}$:

f_1(x) + f_2(x) = \operatorname{Im}\left(R\,e^{i(bx + \alpha)}\right) = R\sin(bx + \alpha)

R = \left|A_1e^{i\varphi_1} + A_2e^{i\varphi_2}\right| \qquad \alpha = \arg\left(A_1e^{i\varphi_1} + A_2e^{i\varphi_2}\right)

En la práctica, la suma del paréntesis se hace con la calculadora y se leen el módulo y el argumento.

Cuidado con el modo de la calculadora: si las fases vienen en grados, en grados; si vienen en radianes, en radianes. Y si hace falta comprobar el módulo a mano, por el teorema del coseno $R^{2} = A_1^{2} + A_2^{2} + 2A_1A_2\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$.

Simulador · Suma dos sinusoidales

Mueve las amplitudes y las fases (las dos ondas tienen la misma $b$). A la derecha, los dos fasores uno detrás del otro: la flecha verde es su suma, y su longitud y su ángulo son la amplitud y la fase de la suma.

Amplitud $A_1$ Fase $\varphi_1$ Amplitud $A_2$ Fase $\varphi_2$ Frecuencia $b$ (común)

$f_1$$f_2$$f_1 + f_2$

Ejemplo 1 · $\sin x + 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Sean $f(x) = \sin x$ y $g(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, y $h(x) = f(x) + g(x)$.

Cada una como parte imaginaria

f(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ix}\right) \qquad g(x) = \operatorname{Im}\left(2\,e^{i\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}\right) = \operatorname{Im}\left(2\,e^{ix}\,e^{\frac{\pi}{2}i}\right)

h(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ix} + 2\,e^{ix}\,e^{\frac{\pi}{2}i}\right) = \operatorname{Im}\left(e^{ix}\left(1 + 2\,e^{\frac{\pi}{2}i}\right)\right)

El paréntesis en forma exponencial

1 + 2\,e^{\frac{\pi}{2}i} = 1 + 2i, \qquad |1 + 2i| = \sqrt{5} \approx 2{,}24, \qquad \arg(1 + 2i) = \arctan 2 \approx 1{,}107

h(x) = \operatorname{Im}\left(\sqrt{5}\,e^{i(x + 1{,}107)}\right) = \sqrt{5}\,\sin(x + 1{,}107)

$h(x) \approx 2{,}24\,\sin(x + 1{,}11)$

Si se dibujan con la calculadora $\sin x + 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ y $2{,}24\sin(x + 1{,}11)$, las dos gráficas coinciden. La amplitud de la suma es $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, no $1 + 2 = 3$: las dos ondas no van en fase, y solo se sumarían las amplitudes si tuvieran la misma fase.

Ejemplo 2 · Halla $r$ y $\alpha$

Si $f(x) = 3\sin\left(3x + \frac{\pi}{12}\right)$ y $g(x) = 4\sin\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right)$, halla $r$ y $\alpha$ tales que $f(x) + g(x) = r\sin(3x + \alpha)$.

Solución

f(x) + g(x) = \operatorname{Im}\left(e^{3xi}\left(3\,e^{\frac{\pi}{12}i} + 4\,e^{\frac{3\pi}{4}i}\right)\right)

3\,e^{\frac{\pi}{12}i} + 4\,e^{\frac{3\pi}{4}i} \approx (2{,}898 + 0{,}776\,i) + (-2{,}828 + 2{,}828\,i) = 0{,}069 + 3{,}605\,i

r = \sqrt{13} \approx 3{,}61 \qquad \alpha \approx 1{,}55

$f(x) + g(x) = \sqrt{13}\,\sin(3x + 1{,}55)$

Comprobación con el teorema del coseno: las fases se llevan $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$, y $r^{2} = 9 + 16 + 2\cdot 3\cdot 4\cos\frac{2\pi}{3} = 25 - 12 = 13$.

Deberes · Dos fuentes de corriente alterna

Enunciado

Dos fuentes de corriente alterna tienen voltajes de $100$ V y $180$ V. La primera tiene un desfase de $45^\circ$ y la segunda de $135^\circ$. Las dos fuentes se combinan.

a) Halla el voltaje de la fuente combinada. b) Halla el desfase de la fuente combinada.

Ver la solución

Las dos fuentes como partes imaginarias

V_1 = 100\sin(bt + 45^\circ) = \operatorname{Im}\left(100\,e^{ibt}\,e^{45^\circ i}\right) \qquad V_2 = 180\sin(bt + 135^\circ) = \operatorname{Im}\left(180\,e^{ibt}\,e^{135^\circ i}\right)

V_T = V_1 + V_2 = \operatorname{Im}\left(e^{ibt}\left(100\,e^{45^\circ i} + 180\,e^{135^\circ i}\right)\right)

El paréntesis, con la calculadora en grados

100\,e^{45^\circ i} + 180\,e^{135^\circ i} \approx (70{,}71 + 70{,}71\,i) + (-127{,}28 + 127{,}28\,i) = -56{,}57 + 197{,}99\,i

Está en el segundo cuadrante. Módulo y argumento:

R = \sqrt{56{,}57^{2} + 197{,}99^{2}} \approx 205{,}9 \qquad \alpha = 180^\circ - \arctan\dfrac{197{,}99}{56{,}57} \approx 180^\circ - 74{,}1^\circ = 105{,}9^\circ

$V_T \approx 206\,\sin(bt + 105{,}9^\circ)$: a) $206$ V b) $105{,}9^\circ$

Hay una comprobación rápida: las fases se llevan $135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$, los dos vectores son perpendiculares y la amplitud sale por Pitágoras, $\sqrt{100^{2} + 180^{2}} = \sqrt{42\,400} \approx 205{,}9$.

Corrección respecto a la pizarra

En clase salió $V_T = 162{,}08\sin(bt + 141{,}45^\circ)$. Es lo que da la calculadora en modo radianes: lee $45$ y $135$ como radianes, no como grados. Con los desfases en grados, la calculadora tiene que estar en grados. El resultado bueno es $206$ V y $105{,}9^\circ$.