Suma de sinusoïdals amb la mateixa freqüència · TANS 1.13

Suma de dues funcions sinusoïdals

L'objectiu: sumar dues funcions sinusoïdals que tinguin la mateixa freqüència (la mateixa $b$) i veure que el resultat és una altra sinusoïdal d'aquesta freqüència, amb una amplitud i una fase noves.

La idea: el sinus és una part imaginària

Per a un complex en forma exponencial, $r\,e^{i\theta} = r\cos\theta + i\,r\sin\theta$, així que

\operatorname{Im}\left(r\,e^{i\theta}\right) = r\sin\theta \qquad\qquad \operatorname{Re}\left(r\,e^{i\theta}\right) = r\cos\theta

Amb $\theta = bx + \varphi$, qualsevol sinusoïdal s'escriu com la part imaginària d'un producte:

A\sin(bx + \varphi) = \operatorname{Im}\left(A\,e^{i(bx + \varphi)}\right) = \operatorname{Im}\left(e^{ibx}\cdot A\,e^{i\varphi}\right)

Si $f_1(x) = A_1\sin(bx + \varphi_1)$ i $f_2(x) = A_2\sin(bx + \varphi_2)$, la part imaginària d'una suma és la suma de les parts imaginàries, i $e^{ibx}$ surt factor comú perquè la freqüència és la mateixa:

f_1(x) + f_2(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ibx}\left(A_1e^{i\varphi_1} + A_2e^{i\varphi_2}\right)\right)

El resultat

El parèntesi és un nombre complex fix, que no depèn de $x$. Si s'escriu com a $R\,e^{i\alpha}$:

f_1(x) + f_2(x) = \operatorname{Im}\left(R\,e^{i(bx + \alpha)}\right) = R\sin(bx + \alpha)

R = \left|A_1e^{i\varphi_1} + A_2e^{i\varphi_2}\right| \qquad \alpha = \arg\left(A_1e^{i\varphi_1} + A_2e^{i\varphi_2}\right)

A la pràctica, la suma del parèntesi es fa amb la calculadora i se'n llegeixen el mòdul i l'argument.

Compte amb el mode de la calculadora: si les fases vénen en graus, en graus; si vénen en radians, en radians. I si cal comprovar el mòdul a mà, pel teorema del cosinus $R^{2} = A_1^{2} + A_2^{2} + 2A_1A_2\cos(\varphi_1 - \varphi_2)$.

Simulador · Suma dues sinusoïdals

Mou les amplituds i les fases (les dues ones tenen la mateixa $b$). A la dreta, els dos fasors l'un darrere l'altre: la fletxa verda és la seva suma, i la seva longitud i el seu angle són l'amplitud i la fase de la suma.

Amplitud $A_1$ Fase $\varphi_1$ Amplitud $A_2$ Fase $\varphi_2$ Freqüència $b$ (comuna)

$f_1$$f_2$$f_1 + f_2$

Exemple 1 · $\sin x + 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$

Siguin $f(x) = \sin x$ i $g(x) = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$, i $h(x) = f(x) + g(x)$.

Cadascuna com a part imaginària

f(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ix}\right) \qquad g(x) = \operatorname{Im}\left(2\,e^{i\left(x + \frac{\pi}{2}\right)}\right) = \operatorname{Im}\left(2\,e^{ix}\,e^{\frac{\pi}{2}i}\right)

h(x) = \operatorname{Im}\left(e^{ix} + 2\,e^{ix}\,e^{\frac{\pi}{2}i}\right) = \operatorname{Im}\left(e^{ix}\left(1 + 2\,e^{\frac{\pi}{2}i}\right)\right)

El parèntesi en forma exponencial

1 + 2\,e^{\frac{\pi}{2}i} = 1 + 2i, \qquad |1 + 2i| = \sqrt{5} \approx 2{,}24, \qquad \arg(1 + 2i) = \arctan 2 \approx 1{,}107

h(x) = \operatorname{Im}\left(\sqrt{5}\,e^{i(x + 1{,}107)}\right) = \sqrt{5}\,\sin(x + 1{,}107)

$h(x) \approx 2{,}24\,\sin(x + 1{,}11)$

Si es dibuixen amb la calculadora $\sin x + 2\sin\left(x + \frac{\pi}{2}\right)$ i $2{,}24\sin(x + 1{,}11)$, les dues gràfiques coincideixen. L'amplitud de la suma és $\sqrt{5} \approx 2{,}24$, no $1 + 2 = 3$: les dues ones no van en fase, i només se sumarien les amplituds si tinguessin la mateixa fase.

Exemple 2 · Troba $r$ i $\alpha$

Si $f(x) = 3\sin\left(3x + \frac{\pi}{12}\right)$ i $g(x) = 4\sin\left(3x + \frac{3\pi}{4}\right)$, troba $r$ i $\alpha$ tals que $f(x) + g(x) = r\sin(3x + \alpha)$.

Solució

f(x) + g(x) = \operatorname{Im}\left(e^{3xi}\left(3\,e^{\frac{\pi}{12}i} + 4\,e^{\frac{3\pi}{4}i}\right)\right)

3\,e^{\frac{\pi}{12}i} + 4\,e^{\frac{3\pi}{4}i} \approx (2{,}898 + 0{,}776\,i) + (-2{,}828 + 2{,}828\,i) = 0{,}069 + 3{,}605\,i

r = \sqrt{13} \approx 3{,}61 \qquad \alpha \approx 1{,}55

$f(x) + g(x) = \sqrt{13}\,\sin(3x + 1{,}55)$

Comprovació amb el teorema del cosinus: les fases es porten $\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{3}$, i $r^{2} = 9 + 16 + 2\cdot 3\cdot 4\cos\frac{2\pi}{3} = 25 - 12 = 13$.

Deures · Dues fonts de corrent altern

Enunciat

Dues fonts de corrent altern tenen voltatges de $100$ V i $180$ V. La primera té un desfasament de $45^\circ$ i la segona de $135^\circ$. Les dues fonts es combinen.

a) Troba el voltatge de la font combinada. b) Troba el desfasament de la font combinada.

Veure la solució

Les dues fonts com a parts imaginàries

V_1 = 100\sin(bt + 45^\circ) = \operatorname{Im}\left(100\,e^{ibt}\,e^{45^\circ i}\right) \qquad V_2 = 180\sin(bt + 135^\circ) = \operatorname{Im}\left(180\,e^{ibt}\,e^{135^\circ i}\right)

V_T = V_1 + V_2 = \operatorname{Im}\left(e^{ibt}\left(100\,e^{45^\circ i} + 180\,e^{135^\circ i}\right)\right)

El parèntesi, amb la calculadora en graus

100\,e^{45^\circ i} + 180\,e^{135^\circ i} \approx (70{,}71 + 70{,}71\,i) + (-127{,}28 + 127{,}28\,i) = -56{,}57 + 197{,}99\,i

És al segon quadrant. Mòdul i argument:

R = \sqrt{56{,}57^{2} + 197{,}99^{2}} \approx 205{,}9 \qquad \alpha = 180^\circ - \arctan\dfrac{197{,}99}{56{,}57} \approx 180^\circ - 74{,}1^\circ = 105{,}9^\circ

$V_T \approx 206\,\sin(bt + 105{,}9^\circ)$: a) $206$ V b) $105{,}9^\circ$

Hi ha una comprovació ràpida: les fases es porten $135^\circ - 45^\circ = 90^\circ$, els dos vectors són perpendiculars i l'amplitud surt per Pitàgores, $\sqrt{100^{2} + 180^{2}} = \sqrt{42\,400} \approx 205{,}9$.

Correcció respecte de la pissarra

A classe va sortir $V_T = 162{,}08\sin(bt + 141{,}45^\circ)$. És el que dona la calculadora en mode radians: llegeix $45$ i $135$ com a radians, no com a graus. Amb els desfasaments en graus, la calculadora ha d'estar en graus. El resultat bo és $206$ V i $105{,}9^\circ$.