Reto 2: la escultura de la azotea · Retos matemáticos

El enunciado

A los vecinos del edificio donde vivo se les ha ocurrido instalar un chill-out en la azotea comunitaria. En el piso de debajo del mío vive un artista que ha propuesto poner una escultura en forma de cono transparente que quiere llenar de agua de colores.

La verdad es que no tengo nada claro que la azotea aguante el peso una vez llena de agua, y me preocupa: cada verano leo alguna noticia de alguna azotea hundida por el peso del agua de las piscinas hinchables que la gente pone como si nada.

Toca la altura, la generatriz o el radio para ver qué es cada uno.

La escultura: un cono transparente de altura 2 m y generatriz 3 m.

Qué conceptos necesitaremos

Tendremos que repasar el teorema de Pitágoras (sale siempre), la semejanza, algunas áreas y los volúmenes. También hay que recordar:

$1\ \text{m}^3 = 1000$ L, y si hablamos de agua, $1$ L $= 1$ kg.
Una azotea media puede soportar como máximo $350$ kg por cada $\text{m}^2$ de superficie.

Sobre el redondeo. Los cálculos se hacen con los valores exactos ($x^2 = 5$, $x = \sqrt{5}$, $\pi$) y solo se redondea el resultado final, a dos cifras decimales. Si se redondea a medio camino, algún resultado puede cambiar en las centésimas.

1. El radio de la base

Para calcular el volumen del cono necesitamos el radio de la base. Cuando no sabemos algo, ponemos una letra: lo llamaremos $x$.

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La altura, el radio y la generatriz forman un triángulo rectángulo: la generatriz es la hipotenusa. Pitágoras:

3^2 = 2^2 + x^2 \;\Longrightarrow\; 9 = 4 + x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 = 5

x = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \text{ m}

El radio de la base es $x = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ m.

2. El volumen del cono

Calcula el volumen del cono.

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El volumen de un cono es un tercio del de un cilindro con la misma base y altura. Como $x^2 = 5$, podemos usar el $5$ directamente:

V = \dfrac{A_B \cdot h}{3} = \dfrac{\pi \cdot x^2 \cdot h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 2}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \text{ m}^3

$V \approx 10{,}47\ \text{m}^3$

3. La superficie que ocupa

Calcula la superficie de la azotea que ocupa la escultura.

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Lo que ocupa en la azotea es la base, un círculo de radio $x = \sqrt{5}$ m. Como $x^2 = 5$:

A_B = \pi \cdot x^2 = 5\pi \approx 15{,}71 \text{ m}^2

Cuidado con no redondear el radio antes de elevarlo al cuadrado: con $2{,}24^2$ saldría $15{,}76\ \text{m}^2$.

Si además queremos la superficie de la escultura (por ejemplo, para saber cuánto material hace falta), sumamos el área lateral $\pi \cdot x \cdot g$:

A_T = A_B + A_L = 5\pi + \pi \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \approx 15{,}71 + 21{,}07 = 36{,}78 \text{ m}^2

Ocupa $A_B \approx 15{,}71\ \text{m}^2$ de la azotea.

4. Las conversiones

¿Cuántos m³ de agua se necesitan para llenar el cono? ¿A cuántos litros corresponden? ¿Cuántos kilos representan? ¿Qué carga puede soportar la azotea en la superficie que ocupa el cono?

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Metros cúbicos

Es el volumen del cono, $\dfrac{10\pi}{3}\ \text{m}^3$:

$\approx 10{,}47\ \text{m}^3$

Litros

\dfrac{10\pi}{3} \text{ m}^3 \cdot \dfrac{1000 \text{ L}}{1 \text{ m}^3} = \dfrac{10\,000\pi}{3} \text{ L} \approx 10\,471{,}98 \text{ L}

$\approx 10\,471{,}98$ L

Kilos

Como $1$ L de agua pesa $1$ kg:

10\,471{,}98 \text{ L} \cdot \dfrac{1\text{ kg}}{1 \text{ L}} \approx 10\,471{,}98\text{ kg}

$\approx 10\,471{,}98$ kg

Carga que soporta

La azotea aguanta $350$ kg por cada $\text{m}^2$, y la escultura se apoya sobre $5\pi \approx 15{,}71\ \text{m}^2$:

5\pi \text{ m}^2 \cdot \dfrac{350\text{ kg}}{1 \text{ m}^2} = 1750\pi\text{ kg} \approx 5\,497{,}79\text{ kg}

Esa superficie aguanta como máximo unos $5\,497{,}79$ kg.

5. ¿Se hunde la azotea o no?

Con todo lo que has calculado, ¿se hunde la azotea o no?

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10\,471{,}98\text{ kg} > 5\,497{,}79\text{ kg}

El agua pesa casi el doble de lo que aguanta ese trozo de azotea ($10\,471{,}98 : 5\,497{,}79 \approx 1{,}9$). Y todavía no hemos contado el peso del cono ni el de la gente del chill-out.

Sí: con el cono lleno, la azotea se hundiría. La escultura no se puede poner llena de agua.

6. El dibujo a escala

Queremos hacer el dibujo del cono a escala para presentar las conclusiones en la reunión de vecinos. Hemos pensado que cada metro sean 2 cm. ¿Cómo lo haremos?

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Cada metro real son $2$ cm en el dibujo:

\dfrac{\text{dibujo}}{\text{real}} = \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = \dfrac{2 \text{ cm}}{100 \text{ cm}} = \dfrac{1}{50}

La escala es $1:50$. Pasamos cada medida:

\text{Altura: } 2 \text{ m} \cdot \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 4 \text{ cm}

\text{Radio: } \sqrt{5} \text{ m} \cdot \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 2\sqrt{5} \text{ cm} \approx 4{,}47 \text{ cm}

\text{Generatriz: } 3 \text{ m} \cdot \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 6 \text{ cm}

Esbozo a escala 1:50 (las medidas son las del papel).

Para dibujarlo: una base de $4{,}47$ cm de radio ($8{,}94$ cm de diámetro) y el vértice $4$ cm por encima del centro. Si lo hacemos bien, las generatrices miden $6$ cm, y es una buena comprobación.

Escala $1:50$: altura $4$ cm, radio $4{,}47$ cm y generatriz $6$ cm.