Repte 2: l'escultura del terrat · Reptes matemàtics

L'enunciat

Als veïns de l'edifici on visc se'ls ha acudit instal·lar un chill-out al terrat comunitari. Al pis de sota de casa meva hi viu un artista que ha proposat posar-hi una escultura en forma de con transparent que vol omplir d'aigua de colors.

La veritat és que no tinc gens clar si el terrat aguantarà el pes un cop ple d'aigua, i em preocupa: cada estiu llegeixo alguna notícia d'algun terrat enfonsat pel pes de l'aigua de les piscines inflables que la gent hi posa com si res.

Toca l'altura, la generatriu o el radi per veure què és cada un.

L'escultura: un con transparent d'altura 2 m i generatriu 3 m.

Quins conceptes necessitarem

Haurem de revisar el teorema de Pitàgores (surt sempre), la semblança, algunes àrees i els volums. També cal recordar:

$1\ \text{m}^3 = 1000$ L, i si parlem d'aigua, $1$ L $= 1$ kg.
Un terrat mitjà pot suportar com a màxim $350$ kg per cada $\text{m}^2$ de superfície.

Sobre l'arrodoniment. Els càlculs es fan amb els valors exactes ($x^2 = 5$, $x = \sqrt{5}$, $\pi$) i només s'arrodoneix el resultat final, a dues xifres decimals. Si s'arrodoneix a mig camí, algun resultat pot canviar a les centèsimes.

1. El radi de la base

Per calcular el volum del con necessitem el radi de la base. Quan no sabem alguna cosa, hi posem una lletra: li direm $x$.

Veure la solució

L'altura, el radi i la generatriu formen un triangle rectangle: la generatriu n'és la hipotenusa. Pitàgores:

3^2 = 2^2 + x^2 \;\Longrightarrow\; 9 = 4 + x^2 \;\Longrightarrow\; x^2 = 5

x = \sqrt{5} \approx 2{,}24 \text{ m}

El radi de la base és $x = \sqrt{5} \approx 2{,}24$ m.

2. El volum del con

Calcula el volum del con.

Veure la solució

El volum d'un con és un terç del d'un cilindre amb la mateixa base i altura. Com que $x^2 = 5$, podem fer servir el $5$ directament:

V = \dfrac{A_B \cdot h}{3} = \dfrac{\pi \cdot x^2 \cdot h}{3} = \dfrac{\pi \cdot 5 \cdot 2}{3} = \dfrac{10\pi}{3} \approx 10{,}47 \text{ m}^3

$V \approx 10{,}47\ \text{m}^3$

3. La superfície que ocupa

Calcula la superfície del terrat que ocupa l'escultura.

Veure la solució

El que ocupa al terrat és la base, un cercle de radi $x = \sqrt{5}$ m. Com que $x^2 = 5$:

A_B = \pi \cdot x^2 = 5\pi \approx 15{,}71 \text{ m}^2

Compte a no arrodonir el radi abans d'elevar-lo al quadrat: amb $2{,}24^2$ sortiria $15{,}76\ \text{m}^2$.

Si a més volem la superfície de l'escultura (per exemple, per saber quant material cal), sumem l'àrea lateral $\pi \cdot x \cdot g$:

A_T = A_B + A_L = 5\pi + \pi \cdot \sqrt{5} \cdot 3 \approx 15{,}71 + 21{,}07 = 36{,}78 \text{ m}^2

Ocupa $A_B \approx 15{,}71\ \text{m}^2$ del terrat.

4. Les conversions

Quants m³ d'aigua es necessiten per omplir el con? A quants litres corresponen? Quants quilos representen? Quina càrrega pot suportar el terrat en la superfície que ocupa el con?

Veure la solució

Metres cúbics

És el volum del con, $\dfrac{10\pi}{3}\ \text{m}^3$:

$\approx 10{,}47\ \text{m}^3$

Litres

\dfrac{10\pi}{3} \text{ m}^3 \cdot \dfrac{1000 \text{ L}}{1 \text{ m}^3} = \dfrac{10\,000\pi}{3} \text{ L} \approx 10\,471{,}98 \text{ L}

$\approx 10\,471{,}98$ L

Quilos

Com que $1$ L d'aigua pesa $1$ kg:

10\,471{,}98 \text{ L} \cdot \dfrac{1\text{ kg}}{1 \text{ L}} \approx 10\,471{,}98\text{ kg}

$\approx 10\,471{,}98$ kg

Càrrega que suporta

El terrat aguanta $350$ kg per cada $\text{m}^2$, i l'escultura es recolza sobre $5\pi \approx 15{,}71\ \text{m}^2$:

5\pi \text{ m}^2 \cdot \dfrac{350\text{ kg}}{1 \text{ m}^2} = 1750\pi\text{ kg} \approx 5\,497{,}79\text{ kg}

Aquella superfície aguanta com a màxim uns $5\,497{,}79$ kg.

5. Cau el terrat o no?

Amb tot el que has calculat, cau el terrat o no?

Veure la solució

10\,471{,}98\text{ kg} > 5\,497{,}79\text{ kg}

L'aigua pesa gairebé el doble del que aguanta aquell tros de terrat ($10\,471{,}98 : 5\,497{,}79 \approx 1{,}9$). I encara no hem comptat el pes del con ni el de la gent del chill-out.

Sí: amb el con ple, el terrat cauria. L'escultura no s'hi pot posar plena d'aigua.

6. El dibuix a escala

Volem fer el dibuix del con a escala per presentar les conclusions a la reunió de veïns. Hem pensat que cada metre siguin 2 cm. Com ho farem?

Veure la solució

Cada metre real són $2$ cm al dibuix:

\dfrac{\text{dibuix}}{\text{real}} = \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = \dfrac{2 \text{ cm}}{100 \text{ cm}} = \dfrac{1}{50}

L'escala és $1:50$. Passem cada mida:

\text{Altura: } 2 \text{ m} \cdot \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 4 \text{ cm}

\text{Radi: } \sqrt{5} \text{ m} \cdot \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 2\sqrt{5} \text{ cm} \approx 4{,}47 \text{ cm}

\text{Generatriu: } 3 \text{ m} \cdot \dfrac{2 \text{ cm}}{1 \text{ m}} = 6 \text{ cm}

Esbós a escala 1:50 (les mides són les del paper).

Per dibuixar-lo: una base de $4{,}47$ cm de radi ($8{,}94$ cm de diàmetre) i el vèrtex $4$ cm per sobre del centre. Si ho fem bé, les generatrius fan $6$ cm, i és una bona comprovació.

Escala $1:50$: altura $4$ cm, radi $4{,}47$ cm i generatriu $6$ cm.