Deberes corregidos (21 sep) · Retos matemáticos

El enunciado

Encuentra para los cuerpos siguientes:

El área de la base.
El área lateral.
El área total.
El volumen, en cm³ y en litros.

Recuerda: $1000\ \text{cm}^3 = 1\ \text{dm}^3 = 1$ L. Son los mismos tres cuerpos que los módulos del Laboratorio de supervivencia, a otra escala.

Sobre el redondeo. Los resultados van redondeados a las centésimas y, como en clase, cada paso usa el resultado redondeado del anterior. Cuando redondear solo al final cambia alguna cifra, lo decimos en la misma solución.

1. Prisma rectangular

Prisma rectangular: base de 8 cm × 5 cm y altura de 7 cm.

Ver la solución

a) Área de la base

La base es un rectángulo de $8$ cm por $5$ cm:

A_B = 8 \cdot 5 = 40\text{ cm}^2

$A_B = 40\ \text{cm}^2$

b) Área lateral

La cara lateral desplegada es un rectángulo con el perímetro de la base de largo y la altura de alto:

P_B = 8 + 5 + 8 + 5 = 26 \text{ cm}

A_L = P_B \cdot h = 26 \cdot 7 = 182\text{ cm}^2

$A_L = 182\ \text{cm}^2$

c) Área total

Dos bases y la lateral:

A_T = 2 \cdot A_B + A_L = 2 \cdot 40 + 182 = 262\text{ cm}^2

$A_T = 262\ \text{cm}^2$

d) Volumen

V = A_B \cdot h = 40 \cdot 7 = 280\text{ cm}^3

Para pasar a litros dividimos entre $1000$:

280 : 1000 = 0{,}28 \text{ L}

$V = 280\ \text{cm}^3 = 0{,}28$ L

2. Cilindro

Cilindro: radio de 4 cm y altura de 9 cm. Desenrollada, la cara lateral es un rectángulo tan largo como la circunferencia de la base.

Ver la solución

a) Área de la base

La base es un círculo de radio $4$ cm:

A_B = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 4^2 \approx 50{,}27\text{ cm}^2

$A_B \approx 50{,}27\ \text{cm}^2$

b) Área lateral

El perímetro de la base es la circunferencia, $2\pi r$:

A_L = P_B \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 4 \cdot 9 \approx 226{,}19\text{ cm}^2

$A_L \approx 226{,}19\ \text{cm}^2$

c) Área total

A_T = 2 \cdot A_B + A_L = 2 \cdot 50{,}27 + 226{,}19 = 326{,}73\text{ cm}^2

$A_T \approx 326{,}73\ \text{cm}^2$

d) Volumen

V = A_B \cdot h = 50{,}27 \cdot 9 = 452{,}43\text{ cm}^3

452{,}43 : 1000 \approx 0{,}45 \text{ L}

Redondeando solo al final, $V = \pi \cdot 4^2 \cdot 9 = 144\pi \approx 452{,}39\ \text{cm}^3$: la diferencia viene de haber redondeado el área de la base antes de multiplicar por $9$. En litros sale igual, $0{,}45$ L.

$V \approx 452{,}43\ \text{cm}^3 \approx 0{,}45$ L

3. Pirámide de base cuadrada

Pirámide de base cuadrada: lado de 7 cm y altura de 8 cm. La altura de cada triángulo lateral es la apotema, no la altura de la pirámide.

Ver la solución

a) Área de la base

A_B = c^2 = 7^2 = 49\text{ cm}^2

$A_B = 49\ \text{cm}^2$

b) Área lateral

Las caras laterales son 4 triángulos de base $7$ cm. Su altura es la apotema $h'$, que no nos dan: la encontramos con Pitágoras en el triángulo rectángulo que forman la altura de la pirámide ($8$ cm), la mitad del lado de la base ($3{,}5$ cm) y la apotema.

h'^2 = 8^2 + 3{,}5^2 = 64 + 12{,}25 = 76{,}25 \;\Longrightarrow\; h' = \sqrt{76{,}25} \approx 8{,}73 \text{ cm}

A_L = 4 \cdot A_{\triangle} = 4 \cdot \dfrac{7 \cdot 8{,}73}{2} = 122{,}22\text{ cm}^2

En clase escribimos $A_T$ para el área de cada triángulo; aquí ponemos $A_{\triangle}$ para que no se confunda con el área total. Redondeando solo al final (con $h' = \sqrt{76{,}25}$) sale $A_L \approx 122{,}25\ \text{cm}^2$.

$h' \approx 8{,}73$ cm · $A_L \approx 122{,}22\ \text{cm}^2$

c) Área total

La pirámide solo tiene una base:

A_T = A_B + A_L = 49 + 122{,}22 = 171{,}22\text{ cm}^2

Redondeando solo al final, $A_T \approx 171{,}25\ \text{cm}^2$.

$A_T \approx 171{,}22\ \text{cm}^2$

d) Volumen

Aquí sí va la altura de la pirámide, $8$ cm, y no la apotema:

V = \dfrac{A_B \cdot h}{3} = \dfrac{49 \cdot 8}{3} \approx 130{,}67\text{ cm}^3

130{,}67 : 1000 \approx 0{,}13 \text{ L}

$V \approx 130{,}67\ \text{cm}^3 \approx 0{,}13$ L