La situación
Ha llegado a la central la información de que una gran tormenta ha dañado la base científica situada en el Ártico. Por suerte, el equipo de rescate de nuestras bases en la zona ha podido rescatar a los científicos que estaban trabajando allí, y su pronóstico es bueno. Vosotros sois el nuevo equipo que tiene que reconstruir el laboratorio para continuar con la investigación que estaban haciendo y garantizar vuestra seguridad.
Disponéis de recursos limitados, condiciones extremas y muy poco tiempo para tomar decisiones críticas. Tendréis que calcular, planificar, optimizar y justificar cada paso con rigor científico y matemático.
Nota. Todos los cálculos se redondean a las centésimas.
Conceptos previos
- Geometría y medidas: áreas de figuras planas (cuadrado, rectángulo, triángulo, círculo); superficie de la base de los sólidos; volúmenes: prisma $V = A_{\text{base}} \cdot h$, cilindro $V = \pi r^2 h$, pirámide $V = \frac{1}{3} A_{\text{base}} \cdot h$.
- Sistemas de medida: unidades de longitud, de área y de volumen, y la relación con los litros: $1\ \text{dm}^3 = 1$ L y $1\ \text{m}^3 = 1000$ L.
- Aritmética y proporcionalidad: regla de tres, porcentajes y operaciones con decimales y con $\pi$.
- Ecuaciones: pasar de una expresión a una ecuación, despejar la incógnita (por ejemplo $a^2 = 12$) y la raíz cuadrada.
- Contexto: interpretar los resultados (litros, días, espacio libre) y comprobar si tienen sentido.
Reto 1: Diseño del campamento científico
Nos damos cuenta de que todos los módulos están inservibles, aunque la mayoría del mobiliario interior y de los materiales se pueden aprovechar. Tenemos que rediseñar la estructura del campamento y, dada la urgencia, solo tenemos estos módulos:
Prisma de base cuadrada
2,5 × 2,5 × 6 m
Edificación
Cilindro grande
radio 1,2 m · altura 2,5 m
Agua potable
Pirámide de base cuadrada
3,5 × 3,5 × 2,5 m
Combustible · residuos reciclables
Cilindro pequeño
radio 1 m · altura 2 m
Residuos orgánicos · rechazo
En el campamento, de momento, seréis 12 personas, y la superficie total disponible es de 300 m². Necesitamos:
Módulos para edificar el campamento
- 1 módulo para dormir por cada 3 personas.
- 1 módulo de cocina.
- 1 módulo de laboratorio por cada 4 personas.
- 1 módulo de almacén por cada 6 personas.
Módulos complementarios en total
- 1 módulo de agua potable.
- 1 módulo de combustible.
- 1 módulo para residuos orgánicos.
- 1 módulo para residuos de rechazo.
- 1 módulo para residuos reciclables.
Tarea 1. ¿Caben todos los módulos?
Comprobad, antes de continuar, si todos estos módulos se pueden poner en el campamento; si no, habrá que prescindir de algunas cosas. Paso 1: comprueba los módulos que necesitas de cada tipo. Paso 2: calcula la superficie de la base de cada uno. Paso 3: determina la superficie total y si cabrán todos.
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Módulos de edificación (prismas), con 12 personas:
Complementarios: 1 cilindro grande (agua), 2 pirámides (combustible y reciclables) y 2 cilindros pequeños (orgánicos y rechazo).
10 prismas + 1 cilindro grande + 2 pirámides + 2 cilindros pequeños = 15 módulos
La base de los prismas y de las pirámides es un cuadrado ($\ell^2$) y la de los cilindros, un círculo ($\pi r^2$):
| Número | Forma | Superficie de la base (m²) | Subtotal (m²) |
|---|---|---|---|
| 10 | Prisma de base cuadrada | $2{,}5^2 = 6{,}25$ | $62{,}50$ |
| 1 | Cilindro grande | $\pi \cdot 1{,}2^2 \approx 4{,}52$ | $4{,}52$ |
| 2 | Pirámide de base cuadrada | $3{,}5^2 = 12{,}25$ | $24{,}50$ |
| 2 | Cilindro pequeño | $\pi \cdot 1^2 \approx 3{,}14$ | $6{,}28$ |
Es mucho menos que los $300\ \text{m}^2$ disponibles.
Si las bases de los cilindros no se redondean hasta el final, sale $97{,}81\ \text{m}^2$.
Los módulos ocupan $97{,}80\ \text{m}^2$: caben todos.
Tarea 2. Espacio libre
Comprueba qué porcentaje del campamento nos queda libre de módulos. Por seguridad, tiene que superar el 30 %. ¿Es así?
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Con $97{,}81\ \text{m}^2$ quedan $202{,}19\ \text{m}^2$ libres, y el porcentaje también sale $67{,}40\ \%$.
Queda libre el $67{,}40\ \%$, más del $30\ \%$: el campamento es seguro.
Reto 2: Comprobando capacidades
En medio del Ártico tenemos que estar seguros de que tenemos oxígeno suficiente si nos tenemos que confinar herméticamente, suficiente agua potable y capacidad para los residuos, que solo podremos vaciar cuando vengan a buscarlos. Para saber la capacidad necesitamos los volúmenes de cada módulo, y recordar que $1\ \text{dm}^3 = 1$ L.
Tarea 1. La capacidad de los módulos
Calcula la capacidad de los módulos, en m³ y en litros.
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Como $1\ \text{m}^3 = 1000\ \text{dm}^3 = 1000$ L, para pasar a litros multiplicamos por $1000$. Volumen de cada módulo:
| Número | Forma | Cálculo | Volumen (m³) | Litros |
|---|---|---|---|---|
| 10 | Prisma de base cuadrada | $2{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 6$ | $37{,}50$ | $37\,500$ |
| 1 | Cilindro grande | $\pi \cdot 1{,}2^2 \cdot 2{,}5$ | $11{,}31$ | $11\,310$ |
| 2 | Pirámide de base cuadrada | $\tfrac{1}{3} \cdot 3{,}5^2 \cdot 2{,}5$ | $10{,}21$ | $10\,210$ |
| 2 | Cilindro pequeño | $\pi \cdot 1^2 \cdot 2$ | $6{,}28$ | $6\,280$ |
La pirámide tiene un tercio del volumen del prisma con la misma base y la misma altura; por eso lleva el $\tfrac{1}{3}$.
Tarea 2. El aire de los módulos edificados
Indica qué cantidad de aire hay en los módulos edificados.
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Los módulos edificados son los 10 prismas:
$375\,000$ L de aire
Tarea 3. Agua, combustible y residuos
Indica cuánta agua potable, combustible y residuos de cada tipo podemos almacenar.
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| Qué | Módulo | Capacidad |
|---|---|---|
| Agua potable | 1 cilindro grande | $11\,310$ L |
| Combustible | 1 pirámide | $10\,210$ L |
| Residuos reciclables | 1 pirámide | $10\,210$ L |
| Residuos orgánicos | 1 cilindro pequeño | $6\,280$ L |
| Residuos de rechazo | 1 cilindro pequeño | $6\,280$ L |
Reto 3: Supervivencia
Antes de enviar la expedición tenemos que ver si cumplimos los requisitos de supervivencia.
A. El oxígeno en un confinamiento
En caso de tormenta extrema o de una fuga química, las 12 personas se tendrán que confinar en los módulos de edificación, que están comunicados entre sí. Queremos saber cuánto tiempo podrían aguantar con el oxígeno, sin poder renovar el aire.
Datos: cada persona en reposo necesita unos $0{,}5$ L de oxígeno por minuto, y el aire que respiramos tiene un $21\ \%$ de oxígeno.
Tarea A1
Usando los datos del reto 2, indica la cantidad de aire que hay en los 10 módulos.
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$375\,000$ L
Tarea A2
Indica la cantidad de oxígeno disponible en este aire.
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El $21\ \%$ del aire es oxígeno:
$78\,750$ L de oxígeno
Tarea A3
Calcula qué cantidad de oxígeno necesitan las 12 personas cada minuto.
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$6$ L/min
Tarea A4
Calcula los minutos que tendremos antes de que se agote el oxígeno de los módulos, y pásalo a horas y a días.
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$13\,125$ min $= 218{,}75$ h $\approx 9{,}11$ días
Tarea A5
¿Cuántos días aguantarán? ¿Creéis que la supervivencia depende solo del oxígeno?
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Por el oxígeno, unos 9 días. Pero no depende solo del oxígeno:
- El dióxido de carbono que exhalamos se acumula y se vuelve peligroso mucho antes de que se acabe el oxígeno.
- El mobiliario y los materiales ocupan parte de los módulos: hay menos aire que el volumen que hemos calculado.
- También cuentan el agua, la comida, la calefacción con el combustible y la humedad.
Unos 9 días, pero el límite real llegaría antes.
B. Una pirámide de combustible más pequeña
Nos gustaría reducir la pirámide de combustible, porque no necesitaremos tanto y además es un peligro añadido. ¿Sabrías encontrar una ecuación que nos diera otra medida del lado de la base cuadrada de la pirámide para que el combustible fuera exactamente $10\ \text{m}^3$? La altura sigue siendo $2{,}5$ m.
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Volumen de una pirámide de base cuadrada de lado $a$ y altura $h$:
Con $V = 10$ y $h = 2{,}5$, la ecuación es:
Despejamos $a^2$ y hacemos la raíz cuadrada (el lado tiene que ser positivo):
Comprobación: con $a = 3{,}46$ sale $V \approx 9{,}98\ \text{m}^3$; la diferencia es del redondeo. Fijaos en que solo reducimos el lado 4 cm, de $3{,}5$ a $3{,}46$ m: el volumen inicial, $10{,}21\ \text{m}^3$, ya estaba muy cerca de 10.
El lado de la base tiene que medir $\sqrt{12} \approx 3{,}46$ m.