8. Multiplicación y división de fracciones · Fracciones

Multiplicación

Para multiplicar fracciones, multiplicamos en línea: numerador por numerador y denominador por denominador.

\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot c}{b \cdot d}

Ejemplo. Multiplicando directamente y simplificando al final:

\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{4} = \dfrac{3 \cdot 10}{5 \cdot 4} = \dfrac{30}{20} = \dfrac{3}{2}

Es más cómodo descomponer antes de multiplicar y tachar los factores que se repiten arriba y abajo:

\dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{10}{4} = \dfrac{3 \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{5}}{\cancel{5} \cdot \cancel{2} \cdot 2} = \dfrac{3}{2}

Con números grandes es donde más se nota:

\dfrac{15}{27} \cdot \dfrac{30}{48} \cdot \dfrac{24}{45} = \dfrac{(3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 3 \cdot 5) \cdot (2^3 \cdot 3)}{3^3 \cdot (2^4 \cdot 3) \cdot (3^2 \cdot 5)} = \dfrac{2^4 \cdot 3^3 \cdot 5^2}{2^4 \cdot 3^6 \cdot 5} = \dfrac{5}{3^3} = \dfrac{5}{27}

Si se multiplica primero, sale $\dfrac{10\,800}{58\,320}$, y después hay que simplificarlo. Descomponiendo, el resultado sale ya irreducible.

División

Para dividir fracciones, multiplicamos en cruz: el numerador de la primera por el denominador de la segunda, y el denominador de la primera por el numerador de la segunda.

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

Es lo mismo que multiplicar la primera por la inversa de la segunda. La inversa se obtiene intercambiando numerador y denominador.

\dfrac{a}{b} : \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c} = \dfrac{a \cdot d}{b \cdot c}

Ejemplo. Con varias divisiones seguidas se opera de izquierda a derecha:

\dfrac{5}{3} : \dfrac{2}{7} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{35}{6} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{175}{24}

O bien, todo de golpe: la primera fracción se queda igual y todas las demás se invierten.

\dfrac{5}{3} : \dfrac{2}{7} : \dfrac{4}{5} = \dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{7}{2} \cdot \dfrac{5}{4} = \dfrac{175}{24}

Fracción de fracciones. Una fracción cuyo numerador y denominador son fracciones es una división:

\dfrac{\;\dfrac{5}{6}\;}{\;\dfrac{4}{3}\;} = \dfrac{5}{6} : \dfrac{4}{3} = \dfrac{5 \cdot 3}{6 \cdot 4} = \dfrac{15}{24} = \dfrac{5}{8}

Truco: los extremos ($5$ y $3$, los de fuera) van al numerador, y los medios ($6$ y $4$, los de dentro) al denominador.